Notion

Définition La valeur absolue d'un nombre réel x est le nombre |x| tel que :
Si x>0 alors |x|=x
Si x<0 alors |x|=-x

Propriété La distance entre les réels a et b est d(a;b)=|a-b|

Pour résoudre l'inéquation |x-2| < 3 ,il faut donc chercher les réels x tels que la distance de x à 2 soit plus petite que 3.
Un dessin sur la droite des réels permet de construire un intervalle de centre 2 et de rayon 3, on à -1 < x < 5 soit $x \in ]-1;5[ $
De manière plus générale :

Propriété $ | x-a| \leq r $ équivaut à $a-r \leq x \leq a+r$ c'est à dire $x \in [a-r;a+r] $
$ | x-a| < r $ équivaut à $a-r < x < a+r$ c'est à dire $x \in ]a-r;a+r[ $
$ | x-a| = r $ équivaut à $ x = a-r$ ou $ x= a+r$ c'est à dire $x \in \{a-r;a+r\} $
$ | x-a| > r $ équivaut à $x < a-r$ ou $ a+r < x $ c'est à dire $x \in ]-\infty;a-r[ \cup ]a+r;+\infty[ $

Exercice 1 Calculer :
|4-5|=
|7.2-3.4|=
$|\pi-\sqrt{2}|$=
$|2-\pi|$=

Exercice 2 Résoudre les équations et inéquations suivantes: |x+2| <2
|x-3| = 3
|x+1| > 5

Exercice 3 Soit I l'intervalle I=[1;6]
Déterminer le centre et le rayon de cet intervalle, puis trouver une inéquation dont le centre est cet intervalle.

Ensemble de nombres

Notion d'intervalle

Distance et valeur absolue

Encadrement et valeur approchée

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Nombres