On se place dans un repère $(O,\vec{i},\vec{j})$
Définition : Une équation cartésienne de droite est une égalité vérifiée par les coordonnées (x,y) de tous les points d'une droite, et seulement d'eux.
Une équation d'une droite (d) dans le plan est de la forme $ax+by+c=0$ avec a,b et c des nombres réels
Exemple : 2x+y-3=0 est l'équation d'une droite (d).
Le point A(1,1) est sur la droite (d) puisque si on remplace x et y par les coordonnées de A, on obtient bien 0.
Par contre le point B(2,2) n'est pas sur la droite (d) puisque 2*2+2-3=3. Les coordonnées de B ne vérifient pas l'équation.
Important : Le point $A(x_A;y_A) \in (d)$ ssi $ax_A+by_A+c=0$
Définition : Un vecteur directeur de (d) est un vecteur qui à la même direction que (d).
Si A et B sont deux points distinct de (d) alors $\vec{AB}$ est un vecteur directeur de (d)
Il y a une infinité de vecteurs directeurs de (d) , ils sont colinéaires entre eux.
Propriété : le vecteur $\vec{u}(-b;a)$ est un vecteur directeur de (d)
Important : On peut en déduire plusieurs méthodes pour déterminer l'équation d'une droite (AB) connaissant deux points :
- $M(x,y) \ in (AB) $ ssi $\vec{AM}$ et $\vec{AB}$ sont colinéaires .....
- On calcul les coordonnées de $\vec{AB}$, on en déduit a et b. On remplace par les coordonnées de A pour trouver c
Exercice 1 A(3;2) et B(1,5) C(-1;2)
Calculer une équation cartésienne de (AB) et (AC)
Exercice 2 A(3;2) et B(1,5) C(-1;2)
donner une équation cartésienne de (BC) puis une équation de la parallèle à (BC) passant par A.
Exercice 3 Soit (d) d'équation $2x+3y-4=0$
1) Donner deux points et un vecteur directeur de(d)
2) Montrer que (d) ne passe pas par A(1,1)
3) Donner une équation de la parallèle à (d) passant par A