Définition : Etudier le signe d'une fonction consiste à déterminer les intervalles sur lesquels elle est positive ( $f(x) > 0$ pour tout $x \in I $ ) et ceux sur lesquels elle est négative ( $f(x) < 0$ pour tout $x \in I $ )
Important : Ces informations sont résumé dans un tableau de signe.
Définition : Etudier les variations d'une fonction consiste à déterminer les intervalles sur lesquels elle est croissante et ceux sur lesquels elle est décroissante.
Important : Ces informations sont résumé dans un tableau de variation.
Définition : f est croissante sur I si et seulement si pour tous les réels $a$ et $b$, si $a < b$ alors $f(a) < f(b)$ (deux nombres et leurs images sont rangés dans le même ordre)
f est décroissante sur I si et seulement si pour tous les réels $a$ et $b$, si $a < b$ alors $f(a) > f(b)$ (deux nombres et leurs images sont rangés dans l'ordre inverse)
f est décroissante sur I si et seulement si pour tous les réels $a$ et $b$, si $a < b$ alors $f(a) > f(b)$ (deux nombres et leurs images sont rangés dans l'ordre inverse)
Définition : Une fonction f admet un maximum $M$ atteint en $a$ signifie que $M=f(a)$ et que pour tous réel $x$ de I on à $f(x)\leq f(a)$
Une fonction f admet un minimum $m$ atteint en $a$ signifie que $m=f(a)$ et que pour tous réel $x$ de I on à $f(x)\geq f(a)$
Une fonction f admet un minimum $m$ atteint en $a$ signifie que $m=f(a)$ et que pour tous réel $x$ de I on à $f(x)\geq f(a)$
Remarque : Cela permet de comparer les valeurs de deux images, ou d'encadrer la valeur d'une image.
Important : Un extrémum (minimum ou maximum ) est forcément atteint par au moins une valeur. Il faut toujours préciser cette valeur.
Exercice 1 .PNG)
a) construire le tableau de signe de f
b) construire le tableau de variation de f
a) construire le tableau de signe de f
b) construire le tableau de variation de f
Exercice 2 $$\begin{array}{|c|lccccccccr|} \hline x&-3&&-1&&5&&10&\\
\hline
&+4&&&&8&&&\\ f(x)&&\searrow &&\nearrow &&\searrow &&\\ &&&2&&&&1&\\
\hline
\end{array}$$
a) sur quels intervalles la fonction f est-elle décroissante ?
b) quel est le maximum de f
c) comparer f(7) et f(9)
\hline
&+4&&&&8&&&\\ f(x)&&\searrow &&\nearrow &&\searrow &&\\ &&&2&&&&1&\\
\hline
\end{array}$$
a) sur quels intervalles la fonction f est-elle décroissante ?
b) quel est le maximum de f
c) comparer f(7) et f(9)
Exercice 3 $$\begin{array}{|c|lccccccccr|} \hline x&-3&&-1&&5&&10&\\
\hline
&+2&&&&3&&&\\ f(x)&&\searrow &&\nearrow &&\searrow &&\\ &&&-3&&&&-2&\\
\hline
\end{array}$$
$$\begin{array}{|c|lccccccccccr|} \hline x&-3&&-2&&1&&6&&10&\\
\hline
f(x)&&+&0&-&0&+&0&-&&\\
\hline
\end{array}$$
Construire une courbe qui respecte ces deux tableaux.
\hline
&+2&&&&3&&&\\ f(x)&&\searrow &&\nearrow &&\searrow &&\\ &&&-3&&&&-2&\\
\hline
\end{array}$$
$$\begin{array}{|c|lccccccccccr|} \hline x&-3&&-2&&1&&6&&10&\\
\hline
f(x)&&+&0&-&0&+&0&-&&\\
\hline
\end{array}$$
Construire une courbe qui respecte ces deux tableaux.