Michel ceuille 3 pommes et s'intéresse au fait de savoir si elle est pourrie ou non. Il prend une pomme, au hasard, dans un panier. C'est une expérience répété 3 fois de manière identique et indépendante. On a donc un schéma de Bernouilli avec une loie de probabilité de paramètre (3;\(\frac{1}{2}\)). On s'intéresse à la probabilité que la pomme soit bonne.

Calculer l'éperence et l'écart type de la loie de probabilité qui est lié au problème de Michel.

On peut transformer ce problème en un arbre de probabilité avec 2 entrée ( B:"la pomme est bonne" et P:"pourrie" avec P=\(\frac{1}{2}\)) et 3 tirages. On obtient 4 probabilté :  P(x=0), P(x=1), P(x=2), P(x=3). 

Le chemin B-B-B correspond à 3 pommes bonnes et donc x=3, avec P(x=3)=\(\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{8}\)

On rangera chaque valeurs et leurs probabilité dans un tableau!

E(x)=\(p1 \times x1+p2 \times x2+...+pn \times xn\)

      =\(0\times \frac{1}{8}+1\times \frac{3}{8}+ 2\times \frac{3}{8}+3\times \frac{1}{8}=\frac{3}{2}\)

V(x)=\((x1-E(x))^2 \times p1 + (x2-E(x))^2 \times p2 +...+(xn-E(x))^2 \times pn\)

       =\((0-\frac{3}{2})^2 \times \frac{1}{8} + (1-\frac{3}{2})^2 \times \frac{3}{8} +(2-\frac{3}{2})^2 \times \frac{3}{8} + (3-\frac{3}{2})^2 \times \frac{1}{8}\) = \(\frac{3}{4} \)

\( 𝜎\)(x)=\(√ V(x)=√ \frac{3}{4} = \frac{√3}{2} \)

L'écart type d'une loie de probabilité

Calculer l'espérence d'une loie de probabilté.

Traduisons une loie de probabilité, X, par un tableau:

​L'éspérence de X, notée E(x) est:

E(x)=\(p1 \times x1+p2 \times x2+...+pn \times xn\)

Calculer une variance ainsi qu'un écart type.

On reprend la loie de probabilité précédente. La variance de X, notéé V(x) est:

V(x)=\((x1-E(x))^2 \times p1 + (x2-E(x))^2 \times p2 +...+(xn-E(x))^2 \times pn\)

L'écart type de cette loie, notée σ(x) est :

σ(x)=√ V(x)