Soient A(0;1;2) un point de l'espace munit d'un répère orthonormé (O;\(\vec{i}\);\(\vec{j}\)) et x-4y-z+11=0 une équation du plan (P).
Calculer la distance entre le point A et le plan (P).
Déterminer une équation de la droite orthognale au plan (P) passant par A, puis trouver les coordonnées de leur point d'intersection.
Correction : Pour commencer, on détermine une équation de la droite orthogonale à (P) passant par A, qu'on nomme (d).
\(\vec{n}\)(1;-4;-1) est un vecteur normal du plan, donc M appartient à (P) si et seulement \(\vec{AM}\) et \(\vec{n}\) sont colinéaires et donc si et seulement si il existe un réel \(k \in \mathbb{R}\) tel que \(\vec{AM}=k\vec{n}\)
Donc d:\(\left\{ \begin{array}{rcr} x = k \\ y = -4k+1 \\z=-k+2 \end{array}\right.\); avec \( k \in \mathbb{R}\)
On nomme H le point d'intersection entre la droite (d) et le plan (P). Les coordonnées de ce point doivent vérifier les deux équations en même temps, on peut donc faire :
1*k-4(-4k+1)-(-k+2)=0
k+16k-4+k-2+11=0
18k+5=0
k=\(-\frac{5}{18}\)
On remplace le coefficient k dans l'équation de (d) par \(-\frac{5}{18}\): \(\left\{ \begin{array}{rcr} x = -\frac{5}{18}\\ y = -4*(-\frac{5}{18})+1=\frac{19}{9} \\z=- (-\frac{5}{18})+2= \frac{41}{18} \end{array}\right.\)
Donc H (\( -\frac{5}{18}; \frac{19}{9}; \frac{41}{18}\))
Pour finir, on calcule la distance AH:
AH=\(\sqrt{ (-\frac{5}{18}-0)²+(\frac{19}{9}-1)²+(\frac{41}{18}-2)² }\)
AH=\(\frac{5\sqrt{2}}{6}\)
Cette distance correspond à la distance entre le point A et le plan (P).
Soient A(x(a);y(a);z(a)) et P: ax+by+cz+d=0
Pour calculer une distance d'un point A à plan (P), on procède toujours aux mêmes étapes :
- Etablir une équation de la droite orthogonale (d) au plan (P) et passant par le point A
- Trouver le point d'intersection H entre (d) et (P) en utiliser leurs équations
- Calculer la distance entre le point A et le point H trouvé précédemment.
Ainsi, une formule existe que l'on peut aussi utiliser directement avec les coordonnées du point A et l'équation du plan (P), sans passer par les différentes étapes :
d(A;P)=\(\frac{|ax(a)+by(a)+cz(a)+d|}{\sqrt{a²+b²+c²}}\)