Dans le repère \((O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})\), on donne les points \(A(6;0;0)\), \(B(0;6;6)\), \(R(1;1;6)\) et \(\vec{n}(3;2;6)\) vecteur normal du plan \(RMN\).

                                            1) Calculer une équation paramétrique de la droite \((AB)\).

                                    2) Calculer une équation cartésienne du plan \(RMN\).

3) Déterminer dans l'ordre si :

               a) \((AB)\) et \(RMN\) sont parallèles.

                                                                               b) \((AB)\) et \(RMN\) sont sécants  et si oui, donner les coordonnées du point d'intersection noté \(H\). 

                          c) \((AB)\) et \(RMN \)sont perpandiculaires.

 

                1) La droite \((AB)\) a pour vecteur directeur \(\vec{AB}\).

                     2) Un vecteur directeur du plan est orthogonal à \(\vec{n}\).

3)  a) \(\vec{AB}\) et \(\vec{n}\) sont-ils orthogonaux ?

   c) \(\vec{AB}\) et \(\vec{n}\) sont- ils colinéaires ?

 

1) \(W(x;y;z)\)\(\in\) \((AB)\)ssi \(\vec{AW}\)et \(\vec{AB}\)sont colinéaires

                                                    ssi il existe un réel k tel que \(\vec{AW}=k.\vec{AB}\)

               ssi\(\left\{ \begin{array}{rcr} x-6=-6k \\ y-0=6k \\ z-0=6k \end{array}\right.\)

                                  ssi\(\left\{ \begin{array}{rcr} x= -6k+6 \\ y= 6k \\ z= 6k \end{array}\right.\)  avec k \(\in\) \( \mathbb{R}\)

\(\)

          2) \(W(x;y;z)\)\(\in\) \(RMN\)ssi \(\vec{n}.\vec{RW} \)et \(\vec{RW}\)sont orthogonaux

    ssi \(\vec{n}.\vec{RW}=0\)

                                                       ssi \(3*(x-1)+2*(y-1)+6*(z-6)=0\)

                        ssi \(3x+2y+6z-41=0\)

 

  3)a) Si \(\vec{v}\) et \(\vec{n}\) sont orthgonaux, \(\vec{v}.\vec{n}=0\)ce qui signifie que \((AB)\)et \(RMN\)sont parallèles.

Or \(-6*3+6*2+6*6=30\)

                  Donc \((AB)\)et \(RMN\)ne sont pas parallèles.

3)b) Si \((AB)\)et  \(RMN\)sont sécants, cela signifie qu'il y a un point d'intersection noté \(H\).

Or \(\left\{ \begin{array}{rcr} x = -6k+6 \\ y= 6k \\ z=6k \\ 3x+2y+6z-41=0 \end{array}\right.\)

                                     Donc       \(3*(-6k+6)+2*6k+6*6k-41=0\)

                                       \(-18k+18+12k+36k-41=0\)

\(k=\frac{23}{30}\)

On en déduit \(H(-6*\frac{23}{30}+6\ ;6*\frac{23}{30};6*\frac{23}{30})\)

   \(H(1.4 \ ; -4.6 \ ; -4.6)\)

3)c) Enfin, étant sécants, \((AB)\)et \(RMN\)sont perpandiculaires ssi \(\vec{n} \) et \(\vec{AB}\) sont colinéaires.

Or, il n'y a pas proportionnalité car \(\frac{3}{6}\neq\frac{2}{6}\) donc il n'y a pas colinéarité et \((AB)\)et \(RMN\)ne sont pas perpandiculaires .

                                      Une droite et un plan de l'espace sont sécants (orthogonaux) :

                        - alors \(d\) et \(P\) ont un point commun noté \(H\).

                  Une droite et un plan de l'espace sont parallèles :

                   - alors \(d\) et \(P\) sont strictement parallèles.

  - alors \(d\) est contenue dans \(P\).