On considère les points \(A(3;4;-2)\) et B(0;8;-4) ainsi que la droite (CD) d'équation

\(\left\{ \begin{array}{rcr} x=-k+1\\ -k=-y+6\\z=k+2\\ \end{array}\right.\)

Determiner la position relative des droites (CD) et (AB)?

 

-penser à montrer la colinearité de \(\vec{AB}\) avec un point M.
-réflechir à ce que represente un point d'intersection de deux droites dans l'espace
-trouver un vecteur directeur à partir d'une equation parametrique

 

Soit M(x;y;z),
le point M est colineaire à \(\vec{AB}\) :  ssi \(\vec{AM}=k'\vec{AB}\)

ssi\(\left\{ \begin{array}{rcr} x-3=-3k'\\ y-4=4k'\\z-2=-6k'\\ \end{array}\right.\)   ssi\(\left\{ \begin{array}{rcr} x=-3k'+3\\ y=4k'+4\\z=-6k'+2\\ \end{array}\right.\) avec k'\( \in \mathbb{R}\)

(AB) secante à (CD)

ssi\(\left\{ \begin{array}{rcr} -3k'+3 = -k+1 \\ 4k'+4 =k+6 \\-6k'+2=k+2 \end{array}\right.\)

ssi\(\left\{ \begin{array}{rcr} k = 3k'+2 \\ 4k'+4 =3k'+8 \\-6k'+2=k+2 \end{array}\right.\)

ssi\(\left\{ \begin{array}{rcr} k = 3k'+2 \\ k' = 4 \\-6k'+2=k+2 \end{array}\right.\)

ssi\(\left\{ \begin{array}{rcr} k = 10 \\ k' = 4 \\-6k'+2=k+2 \end{array}\right.\)  avec k et k' \(\in \mathbb{R}\)

 

avec k'=4 AB\(\left\{ \begin{array}{rcr} x = -3*4+3= -9 \\ y = 4*4+4=20 \\z = -6*4+2= -22 \end{array}\right.\)

avec k=10 CD \(\left\{ \begin{array}{rcr} x = -10 +3 = -9 \\ y = 16 \\z = 10+2=12 \end{array}\right.\)

\(20 \neq\ 16\)

De plus \(\vec{AB} (3,4,-6) \) et  \(\vec{CD} (-1,1,1)\)

Cependant il n'existe pas de k tel que \(\vec{AB} =k \vec{CD}\)

donc les droites ne sont ni parallèles ni sécantes, elles sont donc non coplanaires.

 

Dans l'espace 2 droites peuvent être:

-sécantes: il faut monter la presence d'un point d'intersection.
-parallèle: il faut monter la colinarité des vecteurs des droites.
-confondu:les droites possèdent les même points et sont parallèles.
-non coplanaire: les droites ne sont ni parallèle ni secantes.