Les points \(A(1; 3; 4)\), \(B(5; 4; 3)\) et \(C(-1; 0; 2)\) forment le plan \(P\)
Le plan \(P'\) a pour équation cartésienne \(3x+5y+z-22=0\)
Quel est la position relative des deux plans?
Les plans \(P\) et \(P'\) sont parallèles si les vecteurs normaux de ses plans sont colinéaires.
Calcul de l'équation paramétrique de P:
\(M(x;y;z)\) \(\vec{AB}=(4;1;-1)\) \(\vec{AC}(-2;-3;-2)\)
\(M \in P\) si et seulement si \(\vec{AM} = k \vec{AB} + k' \vec{AC}\)
si et seulement si \(\left\{ \begin{array}{rcr}x-1=k 4+k'(2)\\y-3=k1+k'(-3)\\z-4=k(-1)+k'(-2) \end{array}\right.\) avec \(k\) et \(k'\in \mathbb{R}* \mathbb{R}\)
ssi \(\left\{ \begin{array}{rcr} x4k+2k'+1 \\ y=k-3k'+3 \\z=-k-2k'+4 \end{array}\right.\) avec \(k\) et \(k'\in \mathbb{R}* \mathbb{R}\)
Calcul de l'équation cartésienne de P:
\(k ={x-2k'-1 \over 4}=0.25x-0.5k'-0.25\)
\(\left\{ \begin{array}{rcr} y=(0.25x-0.5k'-0.25)-3k'+3 \\ z=(-1)\times(0.25x-0.5k'-0.25)-2k'+4 \\ \end{array}\right.\)
\(\left\{ \begin{array}{rcr} y=0.25x-3.5k'+2.75 \\ z=-0.25x-1.5k'+4.25\\ \end{array}\right.\)
\(k'={-y+0.25x+2.75 \over -3.5}\)
\(z=-0.25x-1.5\times({ 2 \over7} y-{1\over14}x-{11\over14})+4.5 \)
\(z=-0.25-{3\over7}y+{3\over28}x+{33\over28}+4.25\)
\(0={3\over28}x-{3\over7}y-z+{145\over28}\)
Vecteur normal à P:
\(\vec{n}({3\over28};{-3\over7};-1)\)
Vecteur normal à P':
\(\vec{n'}(3;5:1)\)
Comparaison des vecteurs:
\(\vec{n}({3\over28};{-3\over7};-1)\)
\(\vec{n'}(3;5:1)\)
on ne peux pas trouver de réel \(k\) tel que \(\vec{n}=k\vec{n'}\)
Conclusion:
Les plans ne sont donc pas parallèles. Ils sont sécants.
Le plan d'équation \(ax+by+cz+d=0\), a pour vecteur normal \(\vec{n}(a;b;c)\)
Pour que deux vecteurs \(\vec{n}\) et \(\vec{n'}\) soient colinéaires, il faut qu'il existe un réel \(k\) tel que \(\vec{n}=k\vec{n'}\)
Si les vecteurs normaux des deux plans sont colinéaires, les plans sont parallèles.
Si les vecteurs normaux des deux plans ne sont pas colinéaires, les plans sont sécants.
Si les vecteurs normaux des deux plans sont orthogonaux, les plans sont orthogonaux.