1°) Démontrer que pour tout réel \(t \geq 1 \)    ,  \(0\le e^{-t²} \le e^{-t}\)

                2°) En deduire que pour tout réél \(x\ge1\)  ,  \(0\le\int_1^xe^{-t²}dt\le e^{-1}\)

                                                                bonne chance!

1°) Composer par la fonction \(f(x)=e^{x}\)

2°) jeter un oeil au cours .

                     1°)            Pour tous nombre réel \(t \geq 1 \) ; \(t² \geq t \) ;donc  \(-t² \le -t .\)
                            La fonction \(f(x)=e^{x}\)est croissante et positive sur \( \mathbb{R}\),donc pour tout nombre réel:
                                                          \(t\ge1,0\le e^{-t²}\le e^{-t}\)

                     2°) on sait que le réel \(x\ge1\) :

                                                      \(\int_1^x0 dt\le\int_1^xe^{-t²}dt\le e^{-1}\)

ce qui equivaut à :                          \(0\le\int_1^xe^{-t²}dt\le [-e^{-t}]^{x}_{1}\)

c'est à dire :                                    \(0 \le\int_1^xe^{-t²}dt\le- e^{-x}+e^{-1}\)

                                         Donc:    \(- e^{-x}+e^{-1} \le e^{-1} \)     et   \(0 \le\int_1^xe^{-t²}dt\le e^{-1}\)

Quelques formules: linéarité et intégration: \(\int_a^b(f+g)(x)dx=\int_a^bf(x)dx +\int_a^bg(x)dx\)

                 • Pour tout nombre réel þ,   \(\int_a^bþf(x)dx =þ\int_a^bf(x)dx\)

                 •  L’énoncé demande de montrer un encadrement de l’intégrale de f de a à b (avec a ≤ b) i.e la question est de la                         forme :
                                               « prouver que : \(g\le\int_a^bf(t)dt\le h\) »

                • On cherche d’abord un encadrement sur [a,b] de f , encadrement de la forme : g(x) ≤ f (x) ≤ h(x).
                • La croissance de l’intégrale permet d’ « d’intégrer » cet encadrement: \(\int_a^bg(t)dt\le\int_a^bf(t)dt\le\int_a^bh(t)dt\).
                • Toute la difficulté consiste à bien choisir g et h pour obtenir l’encadrement que l’énoncé demande.