Soit f(x)=8e^3\(x\)-2-5

Déterminer l'aire comprise entre x=0, x=1, y=0 et Cf en unité d'aire et cm² avec en abscisse 1cm=1 unité et en ordonnée 1cm=20 unités

•Déterminer si la fonction est positive ou négative

•Si f(\(x\))<0, alors \(\int_a^b f(x) \, \mathrm dx\)<0

Si f(\(x\))>0, alors \(\int_a^b f(x) \, \mathrm dx\)>0

•Ne pas oublier d'exprimer le résultat en unité d'aire et cm² en tenant compte de l'unité graphique

•f(\(x\))>0

8e^3\(x\)-2-5>0

8e^3\(x\)-2>5

e^3\(x\)-2>\({5 \over 8}\)

3\(x\)\(-\)2>ln(\({5 \over 8}\))

3\(x\)>ln(\({5 \over 8}\))+2

\(x\)>\({ln({5 \over 8})+2 \over 3}\)≈0,5

Donc f(\(x\)) est négative sur [0;0,5] et positive sur [0,5;1]

•f(\(x\))>0 sur [0,5;1] donc A₁=\(\int_{0,5}^1 f(x) \, \mathrm dx\)

A₁=\([{8 \over 3}\)e^3\(x\)-2-5\(x\)\(]\)¹_0,5

A₁=\(({8\over3}\)e^3x1-2-5x1\()-({8\over3}\)e^3x0,5-2-5x0,5\()\)

A₁=\(8\over3\)e¹\(-\)5\(-{8\over3}\)e^-0,5+2,5≈3,1

•f(\(x\))<0 sur [0;0,5] donc A₂=\(\int_0^{0,5} -f(x) \, \mathrm dx\)

A₂=\(-\)\([{8 \over 3}\)e^3\(x\)-2\(-\)5\(x\)\(]\)₀^0,5

A₂=\(-\)\(({8 \over 3}\)e^3x0,5-2-5x0,5\()\)+\(({8\over3}\)e^3x0-2-5x0\()\)

A₂=\(-\)\({8 \over 3}\)e^-0,5+2,5+\({8 \over 3}\)e^-2≈1,2

•A_totale=A₁\(-\)A₂=3,1\(-\)1,2=1,9ua

1ua=1cmx0,2cm=0,2cm²

Donc A_totale=1,9x0,2=0,4cm²

•Pour calculer l'aire sous une courbe, on utilise l'intégrale

•Pour trouver une primitive, il faut faire le chemin inverve de la dérivée

•Lorsque f(\(x\))>0, I=\(\int_a^b f(x) \, \mathrm dx\)

•Lorsque f(\(x\))<0, I=\(\int_a^b-f(x) \, \mathrm dx\)

•Si une fonction continue change de signe sur [a;b], l'intégrale de la fonction est la différence entre l'aire correspondant à l'intervalle où la fonction est positive et l'aire correspondant à l'intervalle où la fonction est négative

•Une unité d'aire est l'aire d'un retangle de 1x1