Soit\(f(x)= \frac{e^{3x}-6}{3x+4}\) et \(g(x)=e^{3x}ln2x\)

Déterminer les limites de ces deux fonctions en \(+{\infty}\) , \(-{\infty}\) et 0 si cela est possible.

 Attention si nous trouvons une forme indéterminée, nous pouvons simplifier la formule.

De plus nous devons connaitre quelques formules.  \(\)

\(f(x)= (e^{3x}-6)/3x+4\)= \(e^{3x}(1-(6/e^{3x}))/3x(1+(4/3x))\)

\(\lim\limits_{x \to \infty} e^{3x}/3x = + \infty\)

\(\lim\limits_{x \to \infty} 1-(6/e{3x}) = 1\)

\(\lim\limits_{x \to \infty} 1-(4/3x) = 1\)

si nous trouvons une forme indéterminée,nous pouvons factoriser par le terme prépondérant, par exemple: 

soit \(f(x)=\frac{6x²+3x}{0.5x²+7}\)

\(f(x)=\frac{x²(6+\frac{3}{x})}{x²(0.5+(\frac{7}{x²})}\)

On peut donc simplifier par \(x²\)

\(f(x)=\frac{6+\frac{3}{x}}{0.5+\frac{7}{x²}}\)

\(\lim\limits_{x \to \infty} 6+\frac{3}{x} = 6\)

\(\lim\limits_{x \to \infty} 0.5+\frac{7}{x²} = 7\)

Donc on peut conclure que \(\lim\limits_{x \to \infty} f(x)=\frac{6}{7}\)

Comme formules de bases, nous devons savoir que