Question 1) Résoudre l'inéquation:

\(ln(x-3)>2\)

Question 2) Résoudre l'équation:

\(ln(x+2)+ln(x-4)=0\)

Question 3) Calculer la dérivée de:

\(f(x)=ln((\frac{x+3}{x+5})^{6})\)

Indice 1) 2=ln(...)

Indice 2) -Il faudrait simplifier, puis trouver que 0=ln(...)

-Se rappeler de la stratégie pour résoudre une équation du second degré

Indice 3) La puissance 6 est grande, développer dans ce cas là ne serait pas une bonne idée

Penser qu'il y a un lien entre les ln et les puissances...

Réponse 1)

 \(ln(x-3)>2 \)

\(ln(x-3)>ln(e^{2})\)

\(x-3>e^{2}\)

\(x>e^{2}+3\)

mais il faut aussi vérifier que \(x-3>0\)

donc : 

\(S=[e^{2}+3;~+ \infty]\)

 

Réponse 2) 

\(ln(x+2)(x+4)=0\)

\(ln(x^{2}-4x+2x-8)=0\)

\(ln(x^{2}-2x-8)=0\)

\(ln(x^{2}-2x-8)=ln(e^{0})\)

\(ln(x^{2}-2x-8)=ln(1)\)

\(x^{2}-2x-8=1\)

On résoud l'équation du second degré

\(x^{2}-2x-9=0\)

\(\delta=b^{2}-4ac\)

\(\delta=(-2)^{2}-4 \times 1 \times (-9) = 40\)

\(\delta > 0\) donc il y a deux solutions :

\(x1 = \frac {-b-\sqrt{\delta}}{2 \times a}\)

\(x1 = \frac {2-\sqrt{40}}{2} = 1-\sqrt{10}\)

\(x2= \frac {-b-\sqrt{\delta}}{2 \times a}\)

\(x1 = \frac {2+\sqrt{40}}{2} = 1+\sqrt{10}\)

mais il faut aussi vérifier que \(x+2 >0\) et que  \(x-4>0\)

Il n'y a donc pas de solutions !!

 

Réponse 3)

\(f(x)=ln((\frac{x+3}{x+5})^{6})=ln((x+3)^{6})-ln((x+5)^{6})=6ln(x+3)-6ln(x+5)\)

donc \(f'(x)=\frac{6}{x+3}-\frac{6}{x+5}=\frac{6(x+5)}{(x+3)(x+5)}-\frac{6(x+3)}{(x+5)(x+3)}=\frac{6x+30}{x^{2}+8x+15}-\frac{6x+18}{x^{2}+8x+15}=\frac{-36x^{2}-108x-180x-540}{x^{2}+8x+15}\)

et donc \(f'(x)=\frac{-36x^{2}-288-540}{x^{2}+8x+15}\)

\(ln(y)=ln(e^{x})\)

\(ln(a)=ln(b) <=> a=b\)

\(lna+lnb=ln (a\times b)\)

\( e^{0}=1\)

\(ln\frac{a}{b} = ln(a)-ln(b)\)

\(ln(a^{n})=nln(a)\)

\(ln'(x)=\frac{1}{x}\)

si \(f(x)=ln(u(x))\) alors \(f'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}\)