1) Est-ce le début d'une suite géométrique?
\(U_0=-3;U_1=\frac{-3}{4};U_2=\frac{-3}{16} ;U_3=\frac{-3}{64} \)
2 ) \(\left\{ \begin{array}{rcr} V_0=2 \\ V_{n+1}=-3V_n \\ \end{array} \right.\)
Calculer \(V_{50}\) et arrondir à \(10^{-3}\) près.
3) \(W_n=5\times 2^n\)
Calculer \(S^8\)
4) \(\left\{ \begin{array}{rcr} U_0=2\\ U_{n+1}=\frac{1}{4}U_n+3 \\ \\ \end{array} \right.\)
On pose \(V_n=U_n-4\)
Montrer que (\(V_n\)) est une suite géométrique et en déduire la limite de (\(U_n\)).
1) On peut calculer les quotients \(\frac{U_{1}}{U_0} \) et \(\frac{U_3}{U_2} \).
2) On peut calculer tous les termes jusqu'à \(V_{50}\) en utilisant cette formule: \( V_{n+1}=-3V_n\) cependant ce n'est pas le but voulu de l'exercice.
Pour plus de rapidité, il est préférable d'utiliser la formule du cours sur les suites géométriques: \(U_{n}=U_0\times q^n\)
3) On doit d'abord reconnaître la nature de la suite puis utiliser la formule de la somme.
4) Dans un premier temps,on peut calculer les premiers termes de la suite (\(V_n\)) afin de formuler une hypothèse sur la nature de la suite.
Puis, on peut prouver que \(V_{n+1}=V_n\times q\)
Afin de déduire la limite de (\(U_n\)), on exprime (\(U_n\)) en fonction de n.
1) On calcule les quotients \(\frac{U_{1}}{U_0}\) et \(\frac{U_3}{U_2}\)
\(\frac{U_{1}}{U_0} =\frac{\frac{-3}{4} }{-3} =\frac{1}{4} \)
\(\frac{U_3}{U_2} =\frac{\frac{-3}{64} }{\frac{-3}{16} } =\frac{1}{4} \)
On remarque que pour passer d'un terme au terme suivant , on multiplie par \(\frac{1}{4} \).
Donc la suite \((U_n)\) est géométrique de raison \(\frac{1}{4} \) et de premier terme \(U_0=-3\)
2) On distingue que la suite (\(V_n\)) est définit par \(V_{n+1}=V_n\times q\)
Donc la suite (\(V_n\)) est géométrique de premier terme \(V_0=2\) et de raison \(q=-3\)
On peut aussi écrire la suite sous cette forme: \(V_n=V_0\times q^n\)
Alors \(V_{50}=V_0\times q^n=2\times (-3)^{50}=1,436.10^{24}\)
3) On constate que la suite (\(W_n \)) est définit sous la forme \(W_n=W_0\times q^n\)
Donc (\(W_n\)) est une suite géométrique de raison 2 et de premier terme \(W_0=5\)
\(S_n=W_0\times (\frac{1-q^{n+1}}{1-q})\)
Donc \(S_8=5\times (\frac{1-2^9}{1-2})=2555\)
4) On calcule d'abord les premiers termes des suites \((U_n)\) et (\(V_n\))
\(U_0=2\)
\(U_1=\frac{1}{4}\times U_0 +3=\frac{1}{4}\times 2+3=\frac{7}{2}\)
\(U_2=\frac{1}{4}\times \frac{7}{2}+3=\frac{31}{8}\)
\(U_3=\frac{1}{4}\times \frac{31}{8}+3=\frac{127}{32}\)
\(V_0=U_0-4=2-4=-2\)
\(V_1=U_1-4=\frac{7}{2}-4=\frac{-1}{2}\)
\(V_2=U_2-4=\frac{31}{8}-4=\frac{-1}{8}\)
\(V_3=U_3-4=\frac{127}{32}-4=\frac{-1}{32}\)
On remarque que pour passer d'un terme à l'autre, il faut multiplier par \(\frac{1}{4}\)
On va alors montrer que \(V_{n+1}=\frac{1}{4}V_n\) \(\forall n \in \mathbb{N}\)
\(V_{n+1}=U_{n+1}-4\)
\(=\frac{1}{4}U_n +3-4 \)
\(=\frac{1}{4} U_n -1\)
\(=\frac{1}{4} (U_n -4)\)
\(=\frac{1}{4} V_n\) \(\forall n \in \mathbb{N}\)
Donc (\(V_n \)) est une suite géométrique de raison \(\frac{1}{4}\) et de premier terme \(V_0=-2\)
On exprime ensuite \(U_n\) en fonction de n.
\(V_n=-2\times (\frac{1}{4})^n\)
\(U_n=V_n+4\)
\(U_n=-2\times(\frac{1}{4})^n+4\)
On cherche à connaitre \(\lim\limits_{n \to+\infty} (\frac{1}{4})^n \)
\((\frac{1}{4})^n=e^{\ln(\frac{1}{4})^n}\)
\(=e^{n\ln(\frac{1}{4})}\)
\(=e^{-n\ln(4)}\)
\(\left. \begin{array}{rcr} \lim\limits_{n \to +\infty}-n\ln(4) = - \infty \\ \lim\limits_{N \to+ \infty} e^N = 0\\ \end{array}\right\}\) \(\lim\limits_{n \to +\infty} e^{-n\ln(4)} =0\)
composée
\(\left. \begin{array}{rcr} \lim\limits_{n \to +\infty}(\frac{1}{4})^n = 0 \\ \lim\limits_{n \to+ \infty}-2 = -2\\ \end{array}\right\}\) \( \lim\limits_{n \to +\infty}-2\times(\frac{1}{4})^n = 0 \)
par multiplication
\(\left. \begin{array}{rcr} \lim\limits_{n \to +\infty}-2\times(\frac{1}{4})^n = 0 \\ \lim\limits_{n \to+ \infty} 4=4\\ \end{array}\right\}\) \( \lim\limits_{n \to +\infty}-2\times(\frac{1}{4})^n +4= 4\)
par addition
Donc \( \lim\limits_{n \to +\infty}U_n= 4\)
1) Pour démontrer qu'une suite (\(U_n\)) est une suite géométrique, on calcule le quotient de deux termes consécutifs \(\frac{U_{n+1}}{U_n} \) , on montre que ce quotient est égal à un nombre q pour tout n.
2) Une suite géométrique \((U_n)\) est définit par \(U_{n+1}=U_n\times q\) alors \(U_n=U_0\times q^n\)
3) Somme des termes d'une suite géométrique:
\(S= U_0+U_1+...+U_n=U_0\times\frac{1-q^{n+1}}{1-q}\)
4) Rappel sur les fonctions \(e^x\) et \(\ln\):
\(\lim\limits_{x \to +\infty} e^{x} = + \infty \)
\(\lim\limits_{x \to+ \infty} \frac{e^{x}}{x} = + \infty \)
\(\ln(e^x)=x\)
\(e^{\ln x}=x\)