\(\left\{ \begin{array}{rcr} U_0=3\\ U_{n+1}=\frac{2}{3}U_n+4\\ \end{array} \right.\)
On suppose qu'on déjà démontré que \(U_n<12\)
Montrer que \(U_n\) est croissante.
On peut utiliser 3 manières différentes pour étudier les variations de cette suite \(U_n\):
-On pose une récurrence et dans ce cas, on pose la propriété \(P_n="U_n<U_{n+1}"\)
-On calcule la différence entre 2 termes consécutifs: \(U_n-U_{n+1}>0\)
-On calcule le quotient entre 2 termes consécutifs (avec \(U_n>0\)) alors \(\frac{U_{n+1}}{U_n}>1\)
3 méthodes possibles:
Par récurrence:
Initialisation:
\(U_0=3\)
\(U_1=6\)
Donc la propriété est vraie pour \(U_1\).
Hérédité:
Supposons que pour un n fixé, on ait:
\(U_n<U_{n+1}\) (on multiplie par \(\frac{2}{3}\))
\(\frac{2}{3}U_n<\frac{2}{3}U_{n+1}\) (on ajoute 4)
\(\frac{2}{3}U_n+4<\frac{2}{3}U_{n+1}+4\)
\(U_{n+1}<U_{n+2}\)
Conclusion:
Donc, par récurrence, la propriété \(P_n="U_n<U_{n+1} "\) est vraie pour tout n. Donc, la suite \(U_n\) est croissante.
Par différence entre 2 termes consécutifs:
Soit un entier n
\(U_{n+1}-U_n=\frac{2}{3}U_n+4-U_n=\frac{-1}{3}U_n+4\)
Or, on sait que \(U_n<12\).
On multiplie des 2 côtés par \(\frac{-1}{3}\). Il ne faut surtout pas oublier de changer le sens du signe!!!
\(\frac{-1}{3}U_n>-4\)
On ajoute 4
\(\frac{-1}{3}U_n+4>0\)
\(U_{n+1}-U_n>0\)
\(U_{n+1}>U_n\) pour tout n,
Donc la suite \(U_n\) est croissante.
Par un quotient entre 2 termes:
\(\frac{\frac{2}{3}U_n+4}{U_n}>\frac{2}{3}+\frac{4}{U_n} >1\) car \(U_n<12\)
donc
\(\frac{U_{n+1}}{U_n}>1\)
pour tout n, et comme \(U_n\)est une suite positive, la suite \(U_n\) est croissante.
Lorsque la suite \(U_{n+1}>U_n\), alors la suite est croissante pour tout n.Par contre, si la suite \(U_{n+1}<U_n\), alors la suite est décroissante pour tout n.
Pour étudier les variations d'une suite, il existe plusieurs manières différentes:
-Si \(U_n=f(n)\), alors on calcule \(f'\) et on étudie les variations de \(f\). Si \(f\) est croissante sur \([0;+\infty[\), alors \(U_n\) est croissante. Si \(f\) est décroissante sur \([0;+\infty[\) alors \(U_n\) est aussi décroissante. On utilise cette méthode que lorsque la suite est définie en fonction de n.
-On calcule la différence entre 2 termes consécutifs \(U_{n+1}-U_n\) . Si pour tout n, \(U_{n+1}-U_n>0\) alors \(U_n\) est croissante. Si, pour tout n, \(U_{n+1}-U_n<0\) alors \(U_n\) est décroissante.
-Et, uniquement si \(U_n>0\) , on calcule le quotient entre 2 termes consécutifs \(\frac{U_{n+1}}{U_n}\). Si pour tout n, \(\frac{U_{n+1}}{U_n}>1\) alors \(U_n\) est croissante. Si, pour tout n, \(\frac{U_{n+1}}{U_n}<1\) alors \(U_n\) est décroissante.
- On peut aussi faire une récurrence si la suite est définie par récurrence.