Calculer la limite (en \(+\infty\)) de la suite \(U_n=1+\frac{sin(n)}{\sqrt{n}}\)

\(-1\leq sin(n) \leq 1\) pour tout n

Soit n un entier non nul :

\(-1\leq sin(n) \leq 1\)

donc

\(\frac{-1}{\sqrt{n}} \leq \frac{sin(n)}{\sqrt{n}} \leq \frac{1}{\sqrt{n}}\)

donc

\(1+\frac{-1}{\sqrt{n}} \leq 1+\frac{sin(n)}{\sqrt{n}} \leq 1+\frac{1}{\sqrt{n}}\)

mais \(\lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} = 0\)

donc \(\lim\limits_{n \to \infty} 1 -\frac{1}{\sqrt{n}} = 1\) et  \(\lim\limits_{n \to \infty} 1+\frac{1}{\sqrt{n}} = 1\)

D'après le théorème des gendarmes :\(\lim\limits_{n \to \infty} U_n = 1\)

 

Il suffit de montrer que la suite \(U_n\) est comprise entre deux autres suites dont on connait la limite.

Si les deux autres suites convergent vers la même limites l alors la suite \(U_n\) converge également vers l.