Soit \(U_n\) une suite définie par récurrence par \(\left\{ \begin{array}{rcr} U_0 & = &5 \\ U_{n+1} & = & 3U_n+4 \\ \end{array} \right.\)

Démontrer par récurrence que la suite \(U_n\) est croissante.

Il faut bien penser aux 3 étapes de la démonstration par récurrence qui sont dans l'ordre respectif:

-l'Initialisation

-l'Hérédité

-la Conclusion

Initialisation:

Montrons que \(U_0<U_1:\)

\(U_0=5 ; U_1=3*5+4=19\)

On a donc \(U_0<U_1\)

Hérédité:

Supposons que pour un n fixé on ait:

\(U_n<U{n+1}\)

\(3U_n<3U_{n+1}\)

\(3U_n+4<3U_{n+1}+4\)

\(U_{n+1}<U_{n+2}\)

Conclusion:

\(\forall n \in \mathbb{N}\), on a démontré par récurrence que \(U_n<U_{n+1}\)

La suite est donc croissante.

 

Dans cette exemple la propriété à démontrer est \(P(n)="U_n<U_{n+1} "\)

Il faut prouver que cette propriété est vrai pour tous les entiers naturels.

Pour cela on montre que :

- P(0) est vrai

-Si P(n) est vrai alors P(n+1) l'est aussi

Cela permet de conclure que la propriété est toujours vrai !