La suite \(U_n\)est définie par récurrence:

\(\left\{ \begin{array}{rcr} U_0=\frac{1}{2} \\ U_{n+1} = {4 (Un) *{ln(Un)} \over 5}\\ \end{array} \right. \)

Montrer que la suite \(U_n\) est une suite majorée

Penser à composer par une fonction \(g(x)\)qui est croissante sur \({[0.5;1]}\)

 

On pose \(g(x) = {4 x *{ln(x)} \over 5}\)

\(g'(x)= \frac{4}{5} (ln(x)+1) \)

donc g(x) est croisaante sur [0.5;1]

Initialisation:

\(\frac{1}{2}≤U_0\)

 

\(U_1\approx0.54 \)

 

 

Donc on a bien :

\(\frac{1}{2} ≤ U_0≤U_1≤1\)

donc l'inégalité \(\frac{1}{2}≤U_n≤U_{n+1}≤1\)est vérifié au rang n=0

Hérédité:

Supposons que pour un \(n\) fixé on ait:

\(\frac{1}{2}≤U_n≤U_{n+1}≤1\)

On compose par la fonction g qui est croissante sur \({[0.5;1]}\):

\(g(\frac{1}{2})≤g(U_n)≤g(U_{n+1})≤g(1)\)

On a donc:

\(\frac{1}{2}≤g(\frac{1}{2})≤g(U_n)≤g(U_{n+1})≤g(1)≤1\)

Comme:

\(g(U_n)=U_{n+1}\)

\(g(U_{n+1})=U_{n+2}\)

on a 

\(\frac{1}{2}≤U_{n+1}≤U_{n+2}≤1\)

Conclusion:

Pour tout n appartenant a \(\mathbb{N}\) on a:  \(\frac{1}{2} ≤U_n≤U_{n+1}≤1\) donc la suite \(U_n\) est croissante et majorée par 1.

 

Une suite (Un) est majorée si et seulementsi il existe un réel M tel que pour tout entier naturel n:

\(U_{n}≤M\)

Pour expliquer une récurrence nous pouvons imaginer une suite de \(n\) dominos...

Les \(n\) dominos sont posés les un a pres les autres. Nous allons faire chuter le premier avec notre doigt. Le premier va faire tomber le deuxième qui va faire tomber le troisième et ainsi de suite. Si le \(49^{ème}\) dominos fait chuter le \(50^{ème}\) ou même si le \(80^{ème}\) fait chuter le \(81^{ème}\) alors tout notre alignement de dominos va chuter.