Montrer que pour tout nombre entier n stricement positif on a:

\(1+2+...+n=\frac{n(n+1)}{2}\)

 

Il faut identifier la proprité P(n) à démontrer.

Puis comprendre ce que signifie P(1) ; P(n) et P(n+1)

Initialisation:

\(\frac{1(1+1)}{2}=1\) donc P(1) est vérifiée.

Hérédité :

Supposons que pour un entier n fixé on ait : \(1+2+...+n=\frac{n(n+1)}{2}\)(hypothése de récurence)

et montrons que \(1+2+...+(n+1)=\frac{(n+1)(n+2)}{2}\)

On a : \(1+2+...+(n+1)=[1+2+...+n]+(n+1)\)

donc d'après l'hypothése de récurence :

\(1+2+...+(n+1)=\frac{n(n+1)}{2}+(n+1)=\frac{(n+1)(n+2)}{2}\)

Conclusion :

Par récurence on à donc : pour tout nombre entier n stricement positif on a:

\(1+2+...+n=\frac{n(n+1)}{2}\)

 

 

 

Pour montrer par récurence une propriété P(n) pour tout\(n \geq n_0\) :

Initialisation:

 Montrer que \(P(n_0)\) est vérifiée.

Hérédité :

Supposons que pour un entier n fixé on ait P(n) vrai (hypothése de récurence)

et montrons que P(n+1) est aussi vrai

 

Conclusion :

Par récurence on à donc : pour tout nombre entier \(n \geq n_0\) la propriété P(n) est vrai.