Partie A
Dans le plan muni d'un repère orthonormé \((O; \vec{i}; \vec{j} )\) , on désigne par $\mathcal{C}_u$ la courbe
représentative de la fonction $u$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par :
\[u(x) = a + \dfrac{b}{x} + \dfrac{c}{x^2}\]
où a, b et c sont des réels fixés.
On a tracé sur le graphique ci-dessous la courbe $\mathcal{C}_u$ et la droite
$\mathcal{D}$ d'équation $y = 1$.
On précise que la courbe $\mathcal{C}_u$ passe par les points A(1;0) et B(4;0) et que l'axe des ordonnées et la droite $\mathcal{D}$ sont asymptotes à la courbe $\mathcal{C}_u$.
1. Donner les valeurs de u(1) et u(4).
2. Donner $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} u(x)$. En déduire la valeur de $a$.
3. En déduire que, pour tout réel $x$ strictement positif, $u(x) = \dfrac{x^2 - 5x + 4}{x^2}$.
Partie B
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par :
\[f(x) = x - 5\ln x - \dfrac{4}{x}.\]
1. Déterminer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $0$. On pourra utiliser sans
démonstration le fait que $\displaystyle\lim_{x \to 0} x \ln x = 0$.
2. Déterminer la limite de f(x) lorsque x tend vers +∞ .
3. Démontrer que, pour tout réel
En déduire le tableau de variation de la fonction
Partie C
1. Déterminer l'aire $\mathcal{A}$, exprimée en unité d'aire, du domaine hachuré sur le graphique de la partie A.
2. Pour tout réel λ supérieur ou égal à 4, on note Aλ l'aire, exprimée en unité d'aire, du domaine formé par les points M de coordonnées (x ; y) telles que
Existe-t-il une valeur de λ pour laquelle Aλ=A ?
Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même
non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.