Partie A: Restitution organisée de connaissances
Soit $z$ un nombre complexe. On rappelle que $\overline{z}$ est le conjugué de $z$ et que $|z|$ est le module de $z$. On admet l'égalité : $|z|^2 = z\overline{z}$.
Montrer que, si $z_{1}$ et $z_{2}$ sont deux nombres complexes, alors $\left|z_{1}z_{2}\right| = \left|z_{1}\right|\left|z_{2}\right|$.
Utiliser les conjugués
En utilisant le prérequis, on à $|Z_1|=\overline{Z_1}Z_1$ et $|Z_2|=\overline{Z_2}Z_2$ mais aussi
$|Z_1Z_2|^2=\overline{Z_1Z_2}Z_1Z_2$
$=\overline{Z_1}Z_1\overline{Z_2}Z_2$$
$=|Z_1|^2|Z_2|^2$
$=(|Z_1||Z_2|)^2$
Ce sont des nombres positifs, ils sont égaux puisque leur carrés sont égaux.
Utiliser les conjugués
Utiliser les conjugués:
Définition:
Conjuguer un nombre complexe revient à changer le signe de la partie imaginaire.
z = a + ib
$\overline{z}$ = a - ib
Sur l'image :
le point a pour coordonnées z = 1,8 + 1,8i
son conjugué est $\overline{z}$ = 1,8 - 1,8i
Propriétés:
z = a + ib et z' = a' + ib'
$\overline{z + z'}$ = $\overline{z}$ + $\overline{z'}$
$\overline{({{z}\over{z'}})}$ = $\overline{z}\over\overline{z'}$
$\overline{z^{n}}$ = $\overline{z}^{n}$
$\overline{z * z'}$ = $\overline{z}$ x $\overline{z'}$
$\overline{({{1}\over{z}})}$ = ${1}\over\overline{z}$
z x $\overline{z}$ = $a^{2}$ + $b^{2}$
conjugué de la forme exponentielle:
si z = $re^{i\theta}$ son conjugué "change le signe de l'angle", soit $\overline{z}$ = $re^{i(-\theta)}$
Partie B : Étude d'une transformation particulière
Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct \Ouv, on désigne par A et B les points d'affixes respectives $1$ et $- 1$.
Soit $f$ la transformation du plan qui à tout point $M$ d'affixe $z \neq 1$, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que:
\[z' = \dfrac{1 - z}{\overline{z} - 1}\]
1. Soit C le point d'affixe $z_{\text{C}} = - 2 + \text{i}$.
a. Calculer l'affixe $z_{\text{C}'}$ du point C$'$ image de C par la transformation $f$, et placer les points C et C$'$ dans le repère donné en annexe.
Utiliser la quantité conjuguée
Soit C le point d'affixe $z_{\text{C}} = - 2 + \text{i}$.
On a $z_{\text{C}'} = \dfrac{1 - (- 2 + \text{i})}{\overline{- 2 + \text{i}} - 1} = \dfrac{3 - \text{i}}{- 3 - \text{i}} = \dfrac{(3 - \text{i})(-3 + \text{i})}{(-3 - \text{i})(-3 + \text{i})} = \dfrac{-9 + 1 + 3\text{i} + 3\text{i}}{9 + 1} = \dfrac{-8 + 6\text{i}}{10} = - \dfrac{4}{5} + \text{i}\dfrac{3}{5}$.
$1\over{a+ib}$=$a-ib\over{a^2+b^2}$
b. Montrer que le point C$'$ appartient au cercle $\mathcal{C}$ de centre O et de rayon 1.
Calculer la distance de O à C'
De $\left|z_{\text{C}'} \right|^2 = \left(\dfrac{4}{5} \right)^2 + \left(\dfrac{3}{5} \right)^2 = \dfrac{16}{25} + \dfrac{9}{25} = 1$, on déduit que le point C$'$ appartient au cercle $\mathcal{C}$ de centre O et de rayon 1.
$\left|z_{\text{C}'} \right| = \text{OC}' = 1$ ce qui montre que C$'$ appartient au cercle $\mathcal{C}$ de centre O et de rayon 1.
Démontrer une propriété de géométrie
I) Démontrer en maths
Il faut bien distinguer deux choses :
- Faire une constatation à partir d’une figure ou à partir de calcul.
- Démontrer en utilisant une propriété.
En mathématiques, on demande presque toujours de démontrer les résultats. La figure ou les exemples sont là uniquement pour nous aider à faire cette démonstration.
A) Règles de base…
1 : Un énoncé mathématique est soit vrai, soit faux.
2 : Des exemples qui vérifient un énoncé ne suffisent pas pour prouver qu’un énoncé est vrai.
3 : Un exemple qui ne vérifie pas un énoncé (appelé contre-exemple) suffit pour prouver que l’énoncé est faux.
→ Plusieurs exemples ne suffissent pas pour montrer qu’une propriété est vraie mais un seul contre-exemple suffit pour montrer qu’une propriété est fausse !
4 : Une constatation ou une mesure ne suffit pas à prouver qu’un énoncé de géométrie est vrai.
B) Comment démontrer ?
Une démonstration s’écrit en trois étapes :
Etape 1 : Je sais … (hypothèses)
Les hypothèses se trouvent dans l’énoncé de l’exercice, les codes d’une figure géométrique, les questions précédentes.
Etape 2 : (conditions et conséquences)
On utilise une propriété ou une définition.
Etape 3 : (conséquences)
On conclut.
II) Exemple de démonstrations
A) Rappels
Ce qui est essentiel, c’est de faire la liaison entre géométrie et nombres complexes !!
- Affixe du vecteur $\vec{AB}$ : $Z_{\vec{AB}} = Z_B-Z_A$
- Module $\iff$ distance : $|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$
- Argument $\iff$ angle : $arg(\vec{AB};\vec{AC})$ $=$ $\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}$
B) Utilisations des modules :
Montrer que $|z_M-z_A|=2$ permet de montrer que le point M est sur le cercle de centre A et de rayon 2.
Montrer que $|z_M-z_A|=|z_M-z_B|$ permet de montrer que le point M est sur la médiatrice du segment $[AB]$
Montrer que deux diagonales d'un parallélogramme sont de même mesure permet de montrer que c'est un rectangle.
Montrer que deux cotés consécutif d'un parallélogramme sont de même mesure permet de montrer que c'est un losange.
Montrer qu'un triangle posséde deux cotés de même longueur, c'est montrer qu'il est isocèle.
Montrer qu'un triangle posséde trois cotés de même longueur, c'est montrer qu'il est équilatérale.
C) Utilisation des vecteurs :
Montrer que deux vecteurs sont égaux, c'est montrer qu'on à un parallélogramme.
Montrer qu'il existe un réel $k$ tel que $\vec{AB}=k\vec{CD}$ c'est montrer que les droites $(AB)$ et $(BC)$ sont paralléles.
Montrer qu'il existe un réel $k$ tel que $\vec{AB}=k\vec{CB}$ c'est montrer que les points $A,B,C$ sont alignés.
D) Utilisation de l'argument :
Montrer qu'un triangle posséde deux angles égaux, c'est montrer qu'il est isocèle.
Montrer qu'un triangle posséde trois angles égaux , c'est montrer qu'il est équilatérale.
Montrer qu'un triangle posséde un angle égal à $\pi\over 2$, c'est montrer qu'il est rectangle.
Montrer qu'un angle est nul peut permettre de montrer que des points sont alignés, des droites sont paralléles.
...
c. Montrer que les points A, C et C$'$ sont alignés.
On peut travailler ave les angles, mais aussi les vecteurs, ...
Calculons $\dfrac{z_{\text{C}} - z_{\text{A}}}{z_{\text{C}'} - z_{\text{A}}} = \dfrac{- 2 + \text{i} - 1}{\frac{- 4 + 3\text{i}}{5 }- 1} = \dfrac{- 15 + 5\text{i}}{- 9 + 3\text{i}} = \dfrac{5(- 3 + \text{i})}{3( - 3 + \text{i})} = \dfrac{5}{3} \in \mathbb(R)$.
L'argument de ce quotient est donc nul, soit $\left(\vec{\text{AC}},~\vec{\text{AC}'} \right) = 0 \pmod{2\pi}$, ce qui signifie que les points A, C et C$'$ sont alignés.
Démontrer une propriété de géométrie
I) Démontrer en maths
Il faut bien distinguer deux choses :
- Faire une constatation à partir d’une figure ou à partir de calcul.
- Démontrer en utilisant une propriété.
En mathématiques, on demande presque toujours de démontrer les résultats. La figure ou les exemples sont là uniquement pour nous aider à faire cette démonstration.
A) Règles de base…
1 : Un énoncé mathématique est soit vrai, soit faux.
2 : Des exemples qui vérifient un énoncé ne suffisent pas pour prouver qu’un énoncé est vrai.
3 : Un exemple qui ne vérifie pas un énoncé (appelé contre-exemple) suffit pour prouver que l’énoncé est faux.
→ Plusieurs exemples ne suffissent pas pour montrer qu’une propriété est vraie mais un seul contre-exemple suffit pour montrer qu’une propriété est fausse !
4 : Une constatation ou une mesure ne suffit pas à prouver qu’un énoncé de géométrie est vrai.
B) Comment démontrer ?
Une démonstration s’écrit en trois étapes :
Etape 1 : Je sais … (hypothèses)
Les hypothèses se trouvent dans l’énoncé de l’exercice, les codes d’une figure géométrique, les questions précédentes.
Etape 2 : (conditions et conséquences)
On utilise une propriété ou une définition.
Etape 3 : (conséquences)
On conclut.
II) Exemple de démonstrations
A) Rappels
Ce qui est essentiel, c’est de faire la liaison entre géométrie et nombres complexes !!
- Affixe du vecteur $\vec{AB}$ : $Z_{\vec{AB}} = Z_B-Z_A$
- Module $\iff$ distance : $|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$
- Argument $\iff$ angle : $arg(\vec{AB};\vec{AC})$ $=$ $\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}$
B) Utilisations des modules :
Montrer que $|z_M-z_A|=2$ permet de montrer que le point M est sur le cercle de centre A et de rayon 2.
Montrer que $|z_M-z_A|=|z_M-z_B|$ permet de montrer que le point M est sur la médiatrice du segment $[AB]$
Montrer que deux diagonales d'un parallélogramme sont de même mesure permet de montrer que c'est un rectangle.
Montrer que deux cotés consécutif d'un parallélogramme sont de même mesure permet de montrer que c'est un losange.
Montrer qu'un triangle posséde deux cotés de même longueur, c'est montrer qu'il est isocèle.
Montrer qu'un triangle posséde trois cotés de même longueur, c'est montrer qu'il est équilatérale.
C) Utilisation des vecteurs :
Montrer que deux vecteurs sont égaux, c'est montrer qu'on à un parallélogramme.
Montrer qu'il existe un réel $k$ tel que $\vec{AB}=k\vec{CD}$ c'est montrer que les droites $(AB)$ et $(BC)$ sont paralléles.
Montrer qu'il existe un réel $k$ tel que $\vec{AB}=k\vec{CB}$ c'est montrer que les points $A,B,C$ sont alignés.
D) Utilisation de l'argument :
Montrer qu'un triangle posséde deux angles égaux, c'est montrer qu'il est isocèle.
Montrer qu'un triangle posséde trois angles égaux , c'est montrer qu'il est équilatérale.
Montrer qu'un triangle posséde un angle égal à $\pi\over 2$, c'est montrer qu'il est rectangle.
Montrer qu'un angle est nul peut permettre de montrer que des points sont alignés, des droites sont paralléles.
...
Calculer un angle
Argument d'un nombre complexe : définition :
Un argument d'un nombre complexe z est une mesure de l'angle orienté ($ \vec{u} ; \vec{OM} $).
On le note $ \theta $.
- les nombres positifs ont pour argument 0
- les nombres négatifs ont pour argument $ \pi $
- les nombres imaginaires ont pour argument $ {\pi} \over {2} $ ou $ {-\pi} \over {2} $
Propriétés :
- arg (zz') = arg (z) + arg (z') +2k $ \pi $ ; k $ \in \mathbb{Z} $
- arg ($ {z} \over {z'} $) = arg (z) - arg (z') +2k $ \pi $ ; k $ \in \mathbb{Z} $
- arg ($ {1} \over {z} $) = - arg (z) +2k $ \pi $ ; k $ \in \mathbb{Z} $
- arg ($ z^n $) = n arg (z) +2k $ \pi $ ; k $ \in \mathbb{Z} $
Exemple :
On considère les points A, B et C d'affixes :
zA = 2 + i
zB = 6 + 2i
zC = 3 - 3i
Montrer que le triangle ABC est isocèle rectangle en A.
Solution :
On doit d'abord calculer l'angle orienté $ \widehat{CAB} $.
Or : ($ \vec{AC} ; \vec{AB} $) = $ arg({{z_{B}-z_{A}} \over {z_{C}-z_{A}}}) $ .
$ {z_{B}-z_{A}} \over {z_{C}-z_{A}} $ = $ {(6+2i)-(2+i)} \over {(3-3i)-(2+i)} $ = $ {4+i} \over {1-4i} $
= $ {(4+i)(1+4i)} \over {(1-4i)(1+4i)} $ (on factorise par la forme conjuguée du dénominateur)
= $ {17i} \over {17} $ = i
Or : i a pour argument $ {\pi} \over {2} $ et pour module 1.
On peut donc écrire :
- ($ \vec{AC} ; \vec{AB} $) = $arg(i)= {\pi \over {2}} $
- \(|\frac{z_{B}-z_{A}}{z_{C}-z_{A}} |= 1=\frac{|z_{B}-z_{A}|}{|z_{C}-z_{A}|} \)
Donc : $ {AB} \over {AC} $ = 1 et ($ \vec{AC} ; \vec{AB} $) = $ {\pi} \over {2} $ .
Donc ABC est bien un triangle isocèle rectangle en A.
2. Déterminer et représenter sur la figure donnée en annexe l'ensemble $\Delta$ des points du plan qui ont le point A pour image par la transformation $f$.
Trouver la propriété caractérisant les points de $\Delta$
Les points qui ont pour image le point A d'affixe 1 ont une affixe $z \neq 1$ telle que :
$z' = 1 = \dfrac{1 - z}{\overline{z} - 1}$.
En posant $z = x + \text{i}y$, l'équation précédente s'écrit :
$1 = \dfrac{1 - x - \text{i} y}{x - \text{i} y - 1} \iff x - \text{i} y - 1 = 1 - x - \text{i} y \iff 2x - 2 = 0 \iff x = 1$
Les points solutions ont donc pour affixe $z = 1 + \text{i} y$ avec $y \neq 0$ : ce sont les points de la droite $\Delta$ d'équation $x = 1$ privée du point A.
Utiliser les ensemble de points
En utilisant module et argument :
L'ensemble des points M d'affixe Z tel que:
| $|Z-Z_A|=R$ | Le cercle de centre A et rayon R |
| $|Z-Z_A|=|Z-Z_B|$ | La médiatrice du segment [AB] |
| $Z-Z_A=Re^{i\theta}$ avec $\Theta \in [0;2\pi]$ | Le cercle de centre A et rayon R |
| $Z-Z_A=Re^{i\theta}$ avec $\Theta \in [0;\pi]$ | Un demi cercle de centre A et rayon R |
| $Z=Re^{i\theta}$ avec$ R \in \mathbb{R} $ | Une droite passant par l'origine |
| $Z-Z_A=Re^{i\theta}$ avec $ R \in \mathbb{R}_+$ | Une demi droite d'origine A |
| $Z-Z_A=Re^{i\theta}$ avec $ R \in [0;1]$ | Un segment [AB] |
En utilisant la forme algébrique :
L'ensemble des points M d'affixe $Z=a+ib$ tel que:
| $a=0$ | l'axe des ordonnée |
| $b=0$ | l'axe des abscisse |
| $a=k$ ou k est une constante |
Une droite verticale d'équation $x=k$ |
| $b=pa+m$ | La droite d'équation $y=px+m$ |
| $(a-x_A)²+(b+y_A)²=R²$ | Le cercle de centre A et rayon R |
Exemple d'utilisation:
Soit A(1+i) et 0 l'origine du repére.
Determinons l'image de la droite (OA) par la transformation $f(z)={1 \over {\overline{z}}}$
Ces tableaux se lisent dans les deux sens:
Soit M(a+ib) un point de (OA), on à alors a=b.
l'affixe de $M'$ est $Z_{M'}={{1} \over {a-ib}}$
$Z_{M'} = {{a+ib} \over {\sqrt{a^2+b^2}}}$
comme $a=b$
M' est sur la droite d'équation $y=x$
(On dit que la droite (OA) est un ensemble globalement invariant )
Determinons l'image du cercle $C$ de centre 0 rayon 2 par la transformation $f(z)={1 \over {\overline{z}}}$
Soit M un point de C, $Z_M=2e^{i\theta}$ avec $\theta \in [0;2\pi]$
On à alors $Z_{M'}={1\over2}e^{i\theta}$ avec $\theta \in [0;2\pi]$
M' est sur le cercle de centre 0 et de rayon $1\over2$
Utiliser les fonctions
Le principe :
On définie une fonction de $\mathbb{C}$ dans $\mathbb{C}$ qui transforme un nombre complexe en un autre nombre complexe.
Si on associe des points images dans le plan de ces nombres complexe on obtient une transformation du plan.
Exemple :
Soit $f$ la fonction de $\mathbb{C}$ dans $\mathbb{C}$ qui à tous $ z \ne1 $ associe $f(z)={1 \over z+1}$
Image d'un point :
Si A est le point d'affixe $Z_A={-1 \over 2}$ alors son image est le point $A'$ d'affixe $Z_{A'}=f(Z_A)={1 \over 1-{1\over2}}$
Si B est le point d'affixe $Z_B={-1 \over 2}+i$ alors son image est le point $B'$ d'affixe $Z_{B'}=f(Z_B)={1 \over 1-{1\over2}+i}={{1\over2}-i \over {5\over4}}$
Point invariant :
Il s'agit des point tel que $z=f(z)$
Ici on a $z={1 \over 1+z}$ donc $z^2+z-1=0$
$\delta=5$ donc il y a deux point invariants d'affixe ${-1-\sqrt{5} \over 2 }$ et ${-1+\sqrt{5} \over 2 }$
Antécédent d'un nombre:
Il s'agit de determiner quel(s) $z$ permettent d'obtenir $f(z)=1+i$
On résoud l'équation ...
Image d'un ensemble de points:
3. Montrer que, pour tout point $M$ distinct de A, le point $M'$ appartient au cercle $\mathcal{C}$.
Caulculer une distance
On a pour $z \neq 1, \quad \left|z' \right| = \left|\dfrac{1 - z}{\overline{z} - 1}\right| = \dfrac{\left|1 - z \right|}{\left|\overline{z} - 1 \right|} = \dfrac{|1 - x - \text{i}y|}{|x - \text{i}y - 1|} = \dfrac{\sqrt{(1 - x)^2 + y^2}}{\sqrt{(x - 1)^2 + y^2}} = 1$.
On vient donc de démontrer que pour tout point $M$ d'affixe $z \neq 1,\:$
$ \left|z' \right| = \text{O}M' = 1$.
Tous les points $M'$ appartiennent au cercle $\mathcal{C}$.
Utiliser les ensemble de points
En utilisant module et argument :
L'ensemble des points M d'affixe Z tel que:
| $|Z-Z_A|=R$ | Le cercle de centre A et rayon R |
| $|Z-Z_A|=|Z-Z_B|$ | La médiatrice du segment [AB] |
| $Z-Z_A=Re^{i\theta}$ avec $\Theta \in [0;2\pi]$ | Le cercle de centre A et rayon R |
| $Z-Z_A=Re^{i\theta}$ avec $\Theta \in [0;\pi]$ | Un demi cercle de centre A et rayon R |
| $Z=Re^{i\theta}$ avec$ R \in \mathbb{R} $ | Une droite passant par l'origine |
| $Z-Z_A=Re^{i\theta}$ avec $ R \in \mathbb{R}_+$ | Une demi droite d'origine A |
| $Z-Z_A=Re^{i\theta}$ avec $ R \in [0;1]$ | Un segment [AB] |
En utilisant la forme algébrique :
L'ensemble des points M d'affixe $Z=a+ib$ tel que:
| $a=0$ | l'axe des ordonnée |
| $b=0$ | l'axe des abscisse |
| $a=k$ ou k est une constante |
Une droite verticale d'équation $x=k$ |
| $b=pa+m$ | La droite d'équation $y=px+m$ |
| $(a-x_A)²+(b+y_A)²=R²$ | Le cercle de centre A et rayon R |
Exemple d'utilisation:
Soit A(1+i) et 0 l'origine du repére.
Determinons l'image de la droite (OA) par la transformation $f(z)={1 \over {\overline{z}}}$
Ces tableaux se lisent dans les deux sens:
Soit M(a+ib) un point de (OA), on à alors a=b.
l'affixe de $M'$ est $Z_{M'}={{1} \over {a-ib}}$
$Z_{M'} = {{a+ib} \over {\sqrt{a^2+b^2}}}$
comme $a=b$
M' est sur la droite d'équation $y=x$
(On dit que la droite (OA) est un ensemble globalement invariant )
Determinons l'image du cercle $C$ de centre 0 rayon 2 par la transformation $f(z)={1 \over {\overline{z}}}$
Soit M un point de C, $Z_M=2e^{i\theta}$ avec $\theta \in [0;2\pi]$
On à alors $Z_{M'}={1\over2}e^{i\theta}$ avec $\theta \in [0;2\pi]$
M' est sur le cercle de centre 0 et de rayon $1\over2$
4. Montrer que, pour tout nombre complexe $z \neq 1, \quad \dfrac{z' -1}{z - 1}$ est réel.
Que peut-on en déduire pour les points A, $M$ et $M'$ ?
On peut utiliser les formes algébriques.
Calculons pour $z \neq 1$, le quotient $\dfrac{z' - 1}{z - 1} = \dfrac{\frac{1 - z}{\overline{z} - 1} - 1}{z - 1} = \dfrac{1 - z - \overline{z} + 1}{(z - 1)(\left(\overline{z} - 1 \right)}$.
Le numérateur : $1 - z - \overline{z} + 1 = 2 - \left(z + \overline{z}\right) = 2 - 2x \in \mathbb{R}$ ;
Le dénominateur : $(z - 1)(\left(\overline{z} - 1 \right) = (z - 1)\overline{z - 1} = |z - 1|^2 \in \mathbb{R}_{+}$ (réel positif).
Finalement $\dfrac{z' - 1}{z - 1} \in \mathbb{R}$ signifie qu'il existe un réel $k$ tel que $z' - 1 = k(z - 1)$ ou encore $\vec{\text{A}M'} = k\vec{\text{A}M}$, ce qui signifie que les points A, $M$ et $M'$ sont alignés.
Utiliser les ensemble de points
En utilisant module et argument :
L'ensemble des points M d'affixe Z tel que:
| $|Z-Z_A|=R$ | Le cercle de centre A et rayon R |
| $|Z-Z_A|=|Z-Z_B|$ | La médiatrice du segment [AB] |
| $Z-Z_A=Re^{i\theta}$ avec $\Theta \in [0;2\pi]$ | Le cercle de centre A et rayon R |
| $Z-Z_A=Re^{i\theta}$ avec $\Theta \in [0;\pi]$ | Un demi cercle de centre A et rayon R |
| $Z=Re^{i\theta}$ avec$ R \in \mathbb{R} $ | Une droite passant par l'origine |
| $Z-Z_A=Re^{i\theta}$ avec $ R \in \mathbb{R}_+$ | Une demi droite d'origine A |
| $Z-Z_A=Re^{i\theta}$ avec $ R \in [0;1]$ | Un segment [AB] |
En utilisant la forme algébrique :
L'ensemble des points M d'affixe $Z=a+ib$ tel que:
| $a=0$ | l'axe des ordonnée |
| $b=0$ | l'axe des abscisse |
| $a=k$ ou k est une constante |
Une droite verticale d'équation $x=k$ |
| $b=pa+m$ | La droite d'équation $y=px+m$ |
| $(a-x_A)²+(b+y_A)²=R²$ | Le cercle de centre A et rayon R |
Exemple d'utilisation:
Soit A(1+i) et 0 l'origine du repére.
Determinons l'image de la droite (OA) par la transformation $f(z)={1 \over {\overline{z}}}$
Ces tableaux se lisent dans les deux sens:
Soit M(a+ib) un point de (OA), on à alors a=b.
l'affixe de $M'$ est $Z_{M'}={{1} \over {a-ib}}$
$Z_{M'} = {{a+ib} \over {\sqrt{a^2+b^2}}}$
comme $a=b$
M' est sur la droite d'équation $y=x$
(On dit que la droite (OA) est un ensemble globalement invariant )
Determinons l'image du cercle $C$ de centre 0 rayon 2 par la transformation $f(z)={1 \over {\overline{z}}}$
Soit M un point de C, $Z_M=2e^{i\theta}$ avec $\theta \in [0;2\pi]$
On à alors $Z_{M'}={1\over2}e^{i\theta}$ avec $\theta \in [0;2\pi]$
M' est sur le cercle de centre 0 et de rayon $1\over2$
5. On a placé un point D sur la figure donnée en annexe. Construire son image D$'$ par la transformation $f$.
D est à une intersection.
D'après la question précédente, D$'$ est aligné avec A et D, donc
- D$'$ appartient au cercle $\mathcal{C}$ ;
- D$'$ est sur la droite (AD).
La construction est donc évidente.
