Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère :
- les points A(0 ; 1 ; −1) et B(−2 ; 2 ; −1) .
- la droite D de représentation paramétrique \(\begin{cases} x=-2+t\\ y=\phantom{-}1+t ; t\in \mathbb{R}\\ z=-1-t \end{cases} \)
$\begin{cases} x=-2+t\\ y=\phantom{-}1+t ; t\in \mathbb{R}\\ z=-1-t \end{cases} $
1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AB).
On peut déterminer l'équation à l'aide de 2 vecteurs appartenant à la droite (AB) et qui sont colinéaires.
La droite $(AB)$ est l'ensemble des points $M$ de coordonnées $(x\,;\,y)$ tels que les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AM}$ soient colinéaires doc tels que $\vec{AM} = k\,\vec{AB}$ où $k\in \mathbb{R}$.
$\vec{AB}$ a pour coordonnées $(-2-0\,;\, 2-1 \,;\, -1-(-1) = (-2\,;\, 1 \,;\, 0)$.
$\vec{AM}$ a pour coordonnées $(x-0\,;\, y-1 \,;\, z-(-1) = (x\,;\, y-1 \,;\, z+1)$.
$\vec{AM}=k\,\vec{AB}
\iff
\left\lbrace
\begin{array}{l !{=} l}
x & -2k\\
y-1 & k\\
z+1 & 0
\end{array}
\right.
\iff
\left\lbrace
\begin{array}{l !{=} r}
x & \phantom{0} -2k\\
y & 1+ k\\
z & -1 \phantom{+k}
\end{array}
\right.$
Une représentation paramétrique de la droite $(AB)$ est:
$\left\lbrace
\begin{array}{l !{=} r}
x & \phantom{0} -2k\\
y & 1+ k\\
z & -1 \phantom{+k}
\end{array}
\right.
\text{ où } k\in \mathbb{R}$
Calculer l'équation d'une droite
Définition
Une équation de droite dans l'espace peut s'écrire de deux façons :
-équation paramétrique de droite
-équation cartésienne de droite
On utilisera plus souvent l'équation paramétrique. Alors :
soit A un point dans l'espace de coordonnées ($x_{0} ; y_{0} ; z_{0}$), et $\vec{u} $ un vecteur non nul de coordonnées (a ; b ; c). Si d est la droite passant par A et $\vec{u}$, alors son équation paramétrique est
$\begin{cases} x = x_{0} + at\\ y = y_{0} + bt\\ z = z_{0} + ct avec t\in\mathbb{R} \end{cases}$
Remarque :
$t\in\mathbb{R}$ signifie qu'à chaque t correspond un point de la droite. Si on $t\in [-1;1]$ alors on à un segment. C'est donc un élément essentiel de l'équation.
Exemple :
Si une droite d passe par le point A de coordonnées (5 ; 2 ; 1) et par $\vec{u}$(2 ; 6 ; 10), alors son équation paramétrique est :
$\begin{cases} x = 5 + 2t\\ y = 2 + 6t\\ z = 1 + 10t avec t\in\mathbb{R} \end{cases}$
Complément :
Une équation cartésienne est de la forme
$\begin{cases} ax + by + cz + d =0\\ a'x + b'x + c'x + d'=0 \end{cases}$
Cela correspond à l'intersection de deux plans.
Comme une droite peut être à l'intersection de beaucoup de plans différents, il existe une infinité d'équation cartésienne trés différentes pour une même droite.
Astuce :
Pour savoir si deux équations corespondent à la même droite, il suffit de choisir au hasard deux points de l'une et tester s'ils sont sur l'autre !
2. a. Montrer que les droites (AB) et $\mathcal{D}$ ne sont pas parallèles.
Montrer que leurs vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires.
La droite $(AB)$ a pour vecteur directeur $\vec{AB}\,(-2\,;\, 1 \,;\, 0)$.
La droite $\mathcal D$ a pour vecteur directeur $\vec{v}\,(1\,;\, 1 \,;\, -1)$.
Les deux vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires donc les droites $(AB)$ et $\mathcal D$ ne sont pas parallèles.
Utiliser les vecteurs
1) Lorsque deux vecteurs sont égaux :
Cela permet de montrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme !
Ensuite on peut voir si c'est un rectangle (diagonales de même longueur), losange (cotés consécutifs égaux, ... ) ou un carré.
2) Lorsque deux vecteurs sont colinéaires :
On cherche un coefficient $k$ tel que $\vec{u}=k\vec{v}$
Cela peut permettre de :
- Montrer que deux droites sont parallèles (avec les vecteurs directeurs) .
- Montrer que deux plans sont paralléles (avec les vecteurs normaux).
- Montrer que deux plans sont paralléles (deux vecteurs directeurs de l'un colinéaires à deux vecteurs de l'autre).
- Montrer que trois points définissent un plan ($\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ non colinéaire ).
3) Lorsque deux vecteurs sont orthogonaux :
On calcul $\vec{u}.\vec{v}=xx'+yy'+zz'$.
Si $\vec{u}.\vec{v}=0$ alors $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux.
Cela peut permettre de :
- Montrer que deux droites sont orthogonaux (avec les vecteurs directeurs) .
- Montrer que deux plans sont orthogonaux (avec les vecteurs normaux).
- Montrer qu'un parallélogramme est un rectangle (1 angle droit), un losange (diagonales perpendiculaires), un carré.
- Montrer qu'un triangle est rectangle.
- M est sur la sphère de diamêtre $[AB]$ si et seulement si $\vec{AM}.\vec{BM}=0$
2. b. Montrer que les droites (AB) et D ne sont pas sécantes.
Montrer que les droites (AB) et D n'admettent pas de point d'intersection.
Les droites (AB) et D sont sécantes si elles admettent un point d'intersection, autrement dit s'il existe un réel t et un réel k tels que $\begin{cases} x=-2+t=-2k\\ y=\phantom{-}1+t =1+k\\ z=-1-t=-1 \end{cases} $
Il n'y a donc pas de solution.
Les droites (AB) et D ne sont pas sécantes.
Les deux droites n′étant ni parallèles ni sécantes, elles sont non coplanaires.
Trouver une intersection
Il y a plusieurs types d'intersections:
Intersection de deux droites:
Si deux droites sont coplanaires et non parallèles alors leur intersection est un point.
Pour trouver les coordonnées du point d'intersection entre la droite D et la droite D', il faut se servir des équations paramétriques les deux droites et résoudre le système.
On cherche un couple de paramêtre $k$ et $k'$ tel que les valeurs de $x,y,z$ soient les même pour les deux droites.
Intersection d'une droite et d'un plan:
L'intersection entre une droite et un plan est un point
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Pour trouver les coordonnées du point d'intersection entre la droite D et la plan P, il faut une équation cartésienne du plan et une équation paramétrique du plan. On remplace les x, y et z dans l'éqution du plan jusqu'à obtenir une valeur de t. On remplace cette valeur dans l'équation paramétrique de la droite D et on résout pour trouver des valeurs de x, y et z qui correspondent aux coordonnées du point d'intersection entre la droite D et la plan P.
Intersection de deux plans:
Si les deux plans ne sont pas parallèles, l'intersection entre deux plans est une droite.
Le système constitué par ces deux équations est un système d'équation cartésienne de droite.
On peut trouver un système d'équation paramètrique de la droite en posant $x=k$ ou $y=k$ ou ...
Remarque : Si un point appartient aux deux plans, il appartient à la droite d'intersection, et deux points définissent une droite.
Intersection d'un plan et d'une sphère:
L'intersection entre un plan et une sphère est un cercle.
Remarque : Le centre du cercle, celui de la sphère et un point du cercle forment un triangle rectangle, penser à Pythagore
Remarque : La distance entre le centre de la sphère et le plan donne la nature de l'intersection (vide, point ou cercle )
Dans la suite la lettre u désigne un nombre réel.
On considère le point M de la droite D de coordonnées (−2+u ; 1+u ; −1−u).
3. Vérifier que le plan P d'équation x+y−z−3u=0 est orthogonal à la droite D et passe par le point M .
Pour montrer que le plan passe par le point M : remplacer les coordonnées du plan par les coordonnées du point M.
Soit P le plan d'équation x+y−z−3u=0 .
xM+yM−zM−3u=−2+u+1+u−(−1−u)−3u=−2+u+1+u+1+u−3u=0 donc M∈P
Le plan P a pour vecteur normal n⃗ (1;1;−1) , qui est un vecteur directeur de la droite D ; donc le plan P est orthogonal à la droite D .
Etudier la position relative de plans et de droites
I) Position relative de 2 plans :
1 - On regarde si les plans sont parallèles :
On regarde si un vecteur normal à un des plans est aussi normal à l'autre plan. Dans ce cas, $\vec{n_1}=k\vec{n_2}$. Avec $\vec{n_1}$ vecteur normal à l'un des plans et $\vec{n_2}$ vecteur normal à l'autre plan.
Si, dans l'égalité, on obtient un seul $k$ pour lequel:
xn1 = k xn2
yn1 = k yn2
zn1 = k zn2 ,alors les deux plans sont parallèles.
Si elle ne l'est pas, alors les plans sont sécants.
2 - On regarde si les plans sont orthogonaux :
On regarde si le vecter directeur à un plan est orthogonal au vecteur 
directeur du deuxième. Pour ce faire, on fait un produit scalaire :
Si $\vec{n_1}.\vec{n_2}=0$, alors les deux plans sont orthogonaux.
Dans le cas contraire, ils sont seulement sécants.
II) Position relative de 2 droites :
1 - On regarde si les droites sont parallèles :
On regarde si un vecteur directeur à une des droites est colinéaire à celui de l'autre droite.
Dans ce cas les droites sont parallèles (éventuellement sécantes )
2 - Si les droites ne sont pas parallèles :
On regarde si elles sont sécantes ou non coplannaires :
Avec les équations paramétriques, on cherche un point comun : Existe-t-il un paramêtre $k$ de la première équation et un paramêtre $k'$ de la seconde qui permet d'obtenir les même valeurs de x, y et z.
De plus si $\vec{n_1}.\vec{n_2}=0$, alors les deux droites sont orthogonales.
III) Position relative d'une droite et d'un plan :
1 - On choisit un vecteur directeur de la droite et un vecteur normal du plan :
S'ils sont colinéaires, le plan et la droite sont orthogonaux.
S'ils sont othogonaux, le plan et la droite sont parallèles.
2 - On cherche les points communs au plan et à la droite:
Il suffit de chercher s'il existe un paramêtre $k$ solutions des équations.
Si ce paramêtre est unique, il y à un point d'intersection.
Si toutes les valeurs sont solutions, la droite est incluse dans le plan .
Si il n'y a pas de solution, le plan et la droite sont strictement parallées.
4. Montrer que le plan $\mathcal{P}$ et la droite (AB) sont sécants en un point $N$ de coordonnées $(-4 + 6u~;~3 - 3u~;~-1)$.
Pensez à créer un système contenant la représentation paramétrique de la droite (AB) et l'équation du plan P et à le résoudre.
Pour déterminer si le plan $\mathcal P$ et la droite $(AB)$ sont sécants, on résout le système
$\left\lbrace
\begin{array}{l}
x = -2k \\
y = 1+k\\
z = -1\\
x+y-z-3u=0
\end{array}
\right.
\iff
\left\lbrace
\begin{array}{l}
x = -2k \\
y = 1+k\\
z = -1\\
-2k +1+k+1-3u=0
\end{array}
\right.
\iff
\left\lbrace
\begin{array}{l}
x = -2(2-3u) \\
y = 1+2-3u\\
z = -1\\
2-3u=k
\end{array}
\right.
\iff
\left\lbrace
\begin{array}{l}
x = -4+6u \\
y = 3-3u\\
z = -1\\
2-3u=k
\end{array}
\right.$
Donc le plan $\mathcal P$ et la droite $(AB)$ sont sécants au point $N\,(-4+6u\,;\,3-3u\,;\,-1)$.
Etudier la position relative de plans et de droites
I) Position relative de 2 plans :
1 - On regarde si les plans sont parallèles :
On regarde si un vecteur normal à un des plans est aussi normal à l'autre plan. Dans ce cas, $\vec{n_1}=k\vec{n_2}$. Avec $\vec{n_1}$ vecteur normal à l'un des plans et $\vec{n_2}$ vecteur normal à l'autre plan.
Si, dans l'égalité, on obtient un seul $k$ pour lequel:
xn1 = k xn2
yn1 = k yn2
zn1 = k zn2 ,alors les deux plans sont parallèles.
Si elle ne l'est pas, alors les plans sont sécants.
2 - On regarde si les plans sont orthogonaux :
On regarde si le vecter directeur à un plan est orthogonal au vecteur
directeur du deuxième. Pour ce faire, on fait un produit scalaire :
Si $\vec{n_1}.\vec{n_2}=0$, alors les deux plans sont orthogonaux.
Dans le cas contraire, ils sont seulement sécants.
II) Position relative de 2 droites :
1 - On regarde si les droites sont parallèles :
On regarde si un vecteur directeur à une des droites est colinéaire à celui de l'autre droite.
Dans ce cas les droites sont parallèles (éventuellement sécantes )
2 - Si les droites ne sont pas parallèles :
On regarde si elles sont sécantes ou non coplannaires :
Avec les équations paramétriques, on cherche un point comun : Existe-t-il un paramêtre $k$ de la première équation et un paramêtre $k'$ de la seconde qui permet d'obtenir les même valeurs de x, y et z.
De plus si $\vec{n_1}.\vec{n_2}=0$, alors les deux droites sont orthogonales.
III) Position relative d'une droite et d'un plan :
1 - On choisit un vecteur directeur de la droite et un vecteur normal du plan :
S'ils sont colinéaires, le plan et la droite sont orthogonaux.
S'ils sont othogonaux, le plan et la droite sont parallèles.
2 - On cherche les points communs au plan et à la droite:
Il suffit de chercher s'il existe un paramêtre $k$ solutions des équations.
Si ce paramêtre est unique, il y à un point d'intersection.
Si toutes les valeurs sont solutions, la droite est incluse dans le plan .
Si il n'y a pas de solution, le plan et la droite sont strictement parallées.
Trouver une intersection
Il y a plusieurs types d'intersections:
Intersection de deux droites:
Si deux droites sont coplanaires et non parallèles alors leur intersection est un point.
Pour trouver les coordonnées du point d'intersection entre la droite D et la droite D', il faut se servir des équations paramétriques les deux droites et résoudre le système.
On cherche un couple de paramêtre $k$ et $k'$ tel que les valeurs de $x,y,z$ soient les même pour les deux droites.
Intersection d'une droite et d'un plan:
L'intersection entre une droite et un plan est un point
Pour trouver les coordonnées du point d'intersection entre la droite D et la plan P, il faut une équation cartésienne du plan et une équation paramétrique du plan. On remplace les x, y et z dans l'éqution du plan jusqu'à obtenir une valeur de t. On remplace cette valeur dans l'équation paramétrique de la droite D et on résout pour trouver des valeurs de x, y et z qui correspondent aux coordonnées du point d'intersection entre la droite D et la plan P.
Intersection de deux plans:
Si les deux plans ne sont pas parallèles, l'intersection entre deux plans est une droite.
Le système constitué par ces deux équations est un système d'équation cartésienne de droite.
On peut trouver un système d'équation paramètrique de la droite en posant $x=k$ ou $y=k$ ou ...
Remarque : Si un point appartient aux deux plans, il appartient à la droite d'intersection, et deux points définissent une droite.
Intersection d'un plan et d'une sphère:
L'intersection entre un plan et une sphère est un cercle.
Remarque : Le centre du cercle, celui de la sphère et un point du cercle forment un triangle rectangle, penser à Pythagore
Remarque : La distance entre le centre de la sphère et le plan donne la nature de l'intersection (vide, point ou cercle )
5. a. Montrer que la droite $(MN)$ est perpendiculaire à la droite $\mathcal{D}$.
Pensez que la droite D passe par le point M.
La droite $\mathcal{D}$ est orthogonale en $M$ au plan $\mathcal P$; donc la droite $\mathcal{D}$ est perpendiculaire à toute droite du plan $\mathcal P$ passant par $M$, donc elle est perpendiculaire à la droite $(MN)$ contenue dans $\mathcal P$ puisque $N\in \mathcal P$
Utiliser les vecteurs
1) Lorsque deux vecteurs sont égaux :
Cela permet de montrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme !
Ensuite on peut voir si c'est un rectangle (diagonales de même longueur), losange (cotés consécutifs égaux, ... ) ou un carré.
2) Lorsque deux vecteurs sont colinéaires :
On cherche un coefficient $k$ tel que $\vec{u}=k\vec{v}$
Cela peut permettre de :
- Montrer que deux droites sont parallèles (avec les vecteurs directeurs) .
- Montrer que deux plans sont paralléles (avec les vecteurs normaux).
- Montrer que deux plans sont paralléles (deux vecteurs directeurs de l'un colinéaires à deux vecteurs de l'autre).
- Montrer que trois points définissent un plan ($\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ non colinéaire ).
3) Lorsque deux vecteurs sont orthogonaux :
On calcul $\vec{u}.\vec{v}=xx'+yy'+zz'$.
Si $\vec{u}.\vec{v}=0$ alors $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux.
Cela peut permettre de :
- Montrer que deux droites sont orthogonaux (avec les vecteurs directeurs) .
- Montrer que deux plans sont orthogonaux (avec les vecteurs normaux).
- Montrer qu'un parallélogramme est un rectangle (1 angle droit), un losange (diagonales perpendiculaires), un carré.
- Montrer qu'un triangle est rectangle.
- M est sur la sphère de diamêtre $[AB]$ si et seulement si $\vec{AM}.\vec{BM}=0$
5. b. Existe-t-il une valeur du nombre réel $u$ pour laquelle la droite $(MN)$ est perpendiculaire à la droite (AB) ?
Pensez au produit scalaire des vecteurs directeurs de MN et AB.
La droite $(MN)$ a pour vecteur directeur $\vec{MN}$ de coordonnées
$(-4+6u - (-2+u)\,;\, 3-3u - (1+u)_,;\, -1-(-1-u))=
(-2+5u\,;\, 2-4u\,;\, u)$.
La droite $(AB)$ a pour vecteur directeur $\vec{AB}$ de coordonnées
$(-2\,;\,1\,;\,0)$.
Les droites $(MN)$ et $(AB)$ sont orthogonales si et seulement si le produit scalaire de $\vec{MN}$ et de $\vec{AB}$ est nul.
$\vec{MN}.\vec{AB}= (-2+5u)\times (-2) + (2-4u)\times 1 + u \times 0 = 4-10u+2-4u=6-14u$
$\vec{MN}.\vec{AB}=0 \iff 6-14u=0 \iff \dfrac{3}{7}=u$
De plus, les droites $(MN)$ et $(AB)$ sont sécantes en $M$; elles sont donc perpendiculaires si et seulement si $u=\dfrac{3}{7}$.
6. a. Exprimer $MN^2$ en fonction de $u$.
Pensez à utiliser une formule de distance.
$MN^2= \parallel MN \parallel^2 = (-2+5u)^2+(2-4u)^2 + u^2
= 4 - 20u + 25u^2 +4 - 16u + 16u^2 + u^2
= 42u^2 - 36u +8$
Calculer une distance
Dans l'espace, pour calculer une distance entre un point A de coordonnées (x; y; z) et un point B de coordonnées (a; b; c), il faut d'abord calculer les coordonnées du vecteur $\vec{AB}$
$\vec{AB}$ = (a - x, b - y, c - z)
Ensuite on calcule la norme du vecteur $\vec{AB}$ grâce à la formule : $\parallel \vec{AB} \parallel$ = AB =$\sqrt{(a - x)^2+(b - y)^2+(c - z)^2}$
On peut utiliser cette formule afin de démontrer certaines propriétés géométriques :
- montrer que deux segments sont de même longueur, ce qui prouve l'existence d'un rectangle (diagonales de même longueur dans un parallélogramme) ou d'un losange ( 4 cotés égaux ), d'un triangle isocèle ou équilatéral...
- montrer qu'un point est sur un cercle (ou une sphère) en comparant la distance le séparant du centre du cercle (ou de la sphère) avec la longueur du rayon du cercle (ou de la sphère)...
On peut également avoir à calculer la distance entre un point et un droite, un point et un plan.
Distance entre un point et une droite :
- A est un point de l'espace et $\Delta$ est une droite de vecteur directeur $\vec{d}$ ( on connaît donc son équation ).
- On calcule l'équation du plan $\mathcal{P}$ de vecteur normal $\vec{d}$ et passant par A.
- On peut maintenant calculer les coordonnées du point d'intersection B entre le plan $\mathcal{P}$ et la droite $\Delta$.
- Connaissant les coordonnées de A et B, on peut ainsi calculer la distance AB, distance entre le point et la droite.
Rq : cette distance sera la plus courte possible entre le point A et les autres points de la droite. Donc s'il on connaît une fonction permettant de calculer cette distance en fonction des coordonnées de A et B, son minimum correspond à la distance recherchée.
Distance entre un point et un plan :
- A est un point de l'espace et $\mathcal{P}$ est un plan de vecteur normal $\vec{n}$.
- On calcule l'équation de la droite $\Delta$ de vecteur directeur $\vec{n}$ et passant par A.
- On peut maintenant calculer les coordonnées du point d'intersection B entre le plan $\mathcal{P}$ et la droite $\Delta$.
- Connaissant les coordonnées de A et B, on peut ainsi calculer la distance AB, distance entre le point et la droite. ( qui est d'ailleurs la plus courte possible entre le point A et tous les points du plan )
Rq : cette distance sera la plus courte possible entre le point A et les autres points du plan. Donc s'il on connaît une fonction permettant de calculer cette distance en fonction des coordonnées de A et B, son minimum correspond à la distance recherchée.
* Pour démontrer une orthogonalité entre un vecteur $\vec{AB} ( a; b; c )$ et un vecteur $\vec{CD} ( d; e; f )$, il faut calculer le produit scalaire entre ces deux vecteurs : $\vec{AB}$.$\vec{CD}$ = $a \times d + b \times e + c \times f$
Si le résultat est nul, alors les deux vecteurs sont orthogonaux. L'orthogonalité peut également servir à démontrer certaines propriétés géométriques : diagonales perpandiculaires pour le losange , montrer qu'un triangle est rectangle...
6. b. En déduire la valeur du réel $u$ pour laquelle la distance $MN$ est minimale.
$MN^2$ est un polynôme du second degré.
$MN^2$ est un trinôme du second degré en $u$ de la forme $au^2+bu+c$, et le coefficient de $u^2$ est $a=42>0$; ce polynôme admet donc un minimum pour $u=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-36}{2\times 42}=\dfrac{3}{7}$.
La distance $MN$ est minimale quand le nombre $MN^2$ est minimal, c'est-à-dire pour $u=\dfrac{3}{7}$.