• Représenter l'arbre grâce aux informations de l'énoncé 
• Sur un arbre les branches reliées correpondent à une propobabilité égale a 1 donc si la probabilité que ce soit une bouteille de jus d'orange est égale a 0.4 alors la probabilité que ça n'en soit pas une est égale à 1-0.4 soit 0.6 .

On représente cette situation à l'aide d'un arbre pondéré :

Pour avoir la probabilité de P(J) on doit multiplier P(J) sachant R et P(J) sachant l'inverse de l'élément R ► C'est une loi de probabilité totale

On obtient donc une formule en fonction de x...

Utiliser la loi de probabilité total

Definition :

Sur la figure ci dessus l'événement B figure a deux endroits:

Pour calculer sa probabilité, on utilisera la loi de probabilité total :

$P(B)=P(A \cap B)+P(\overline{A} \cap B)$

Exemple :

pour obtenir la probabilité de choisir un blond dans une population, je peux ajouter la probabilité de trouver un blond au yeux bleux et la probabilité de trouver un blond qui n'à pas les yeux bleux.

En image :

Généralisation:

La loi de probabilité total s'écrit alors :

$P(A)=P(A\cap E_1)+...+P(A\cap E_n)$

Il s'agit d'un arbre inversé ⇒ utilise la formule 

Une bouteille passée en caisse et prélevée au hasard est une bouteille de "pur jus".

C'est une bouteille de jus d'orange avec la probabilité :

 $P_J(R) = \dfrac{P(R \cap J)}{P(J)} = \dfrac{0,1}{0,2}= \dfrac{1}{2}$

• Il n'y a que deux issues possibles 
• On répète cette expérience un nombre de fois précis 
• Il y a toujours la même probabilité

On prend au hasard une bouteille dans un lot de 500; il n'y a que deux issues possibles: elle est "pur jus" avec une probabilité égale à p=0,2 ou elle ne l'est pas avec la probabilité 1-p=0,8.

On répéte de façon indépendante 500 fois cette épreuve donc la variable aléatoire X qui donne le nombre de bouteilles "pur jus" suit la loi binomiale de paramètres n=500 et p=0,2.

Utilise ta calculatrice (Bcd) 

Mais attention à $P(X\geq 75)$ !

On cherche $P(X\geq 75)$ qui est égal à  $1-P(X\leq 74)$.

A la calculatrice on trouve $P(X\leq 74)\approx {0,0016}$ ce qui donne

 $0,998$ pour la probabilité cherchée.

► La loi suivie est binomial avec un p et un n précis 

►Tu peux utiliser la formule d'un intervalle de fluctuation asymptotique

!! Si on veut $P(-a\leq X\leq a)$ = 0.95 alors on trouve $-1.96\leq X\leq 1.96$ !!

Un intervalle de fluctuation asymptotique de la proportion de bouteilles contenant moins de 2% de pulpe au seuil de 95% est donné par:

\[I=\left[ p-1,96\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} \,;\, p+1,96\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}  \right]  \]

sous les conditions $n\geq 30$, $np\geq 5$ et $n(1-p)\geq 5$.

Or $p=0,9$ et $n=900\geq 30$, donc $np=810\geq 5$ et $n(1-p)=90 \geq 5$

On peut déterminer un intervalle de fluctuation au seuil de 95% de la proportion de bouteilles contenant moins de 2% de pulpe:

$I= \left [ {0,8804}\,;\,0,9196 \right ]$

La fréquence expérimentale est elle dans l'intervalle de fluctuation ?

Dans l'échantillon, il y a 766 bouteilles présentant moins de 2% de pulpe, donc la fréquence de bouteilles présentant moins de 2% de pulpe est de $\dfrac{766}{900} \approx 0,851$.

Cette fréquence observée est en dehors de l'intervalle I, donc l'affirmation du fournisseur semble erronée.