Pour montrer qu'un vecteur est normal à un plan on montre que celui-ci est orthogonal à deux vecteurs directeurs non colinéaires du plan.  

Les coordonnées de $\vec{CE}$ sont 

x = xE −xC = −1
y = yE − yC = −1
z = zE −zC = 1

Les coordonnées de $\vec{IJ}$ sont 

x = xJ −xI = -${1}\over{2}$
y = yJ − yI = 1
z = zJ −zI = ${1}\over{2}$

Les coordonnées de $\vec{IK}$ sont 

x = xK −xI = 0
y = yK − yI = 1
z = zK −zI = 1

$\vec{CE}$ . $\vec{IJ}$ = (-1)×(-${1}\over{2}$)+(-1)×1+1×${1}\over{2}$ = 0 donc $\vec{CE}$⊥$\vec{IJ}$
$\vec{CE}$ . $\vec{IK}$= 0+(−1)×1+1×1 = 0 donc $\vec{CE}$⊥$\vec{IK}$
Le vecteur $\vec{CE}$ est orthogonal à deux vecteurs directeurs non colinéaires $\vec{IJ}$ et $\vec{IK}$ du plan (IJK), donc il est normal au plan (IJK).

Utiliser les vecteurs

1) Lorsque deux vecteurs sont égaux :

Cela permet de montrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme !

Ensuite on peut voir si c'est un rectangle (diagonales de même longueur), losange (cotés consécutifs égaux, ... ) ou un carré.

2) Lorsque deux vecteurs sont colinéaires :

On cherche un coefficient $k$ tel que $\vec{u}=k\vec{v}$

Cela peut permettre de :

- Montrer que deux droites sont parallèles (avec les vecteurs directeurs) .

- Montrer que deux plans sont paralléles (avec les vecteurs normaux).

- Montrer que deux plans sont paralléles (deux vecteurs directeurs de l'un colinéaires à deux vecteurs de l'autre).

- Montrer que trois points définissent un plan ($\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ non colinéaire ).

3) Lorsque deux vecteurs sont orthogonaux :

On calcul $\vec{u}.\vec{v}=xx'+yy'+zz'$.

Si $\vec{u}.\vec{v}=0$ alors $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux.

Cela peut permettre de :

- Montrer que deux droites sont orthogonaux (avec les vecteurs directeurs) .

- Montrer que deux plans sont orthogonaux (avec les vecteurs normaux).

- Montrer qu'un parallélogramme est un rectangle (1 angle droit), un losange (diagonales perpendiculaires), un carré.

- Montrer qu'un triangle est rectangle.

- M est sur la sphère de diamêtre $[AB]$ si et seulement si $\vec{AM}.\vec{BM}=0$

Pour montrer qu'une droite est parallèle à un plan, on montre que ce vecteur est orthogonal à un vecteur normal du plan.

Les coordonnées de $\vec{BD}$ sont

x = xD −xB = −1
y = yD − yB = 1
z = zD −zB = 0

$\vec{CE}$ . $\vec{BD}$ =(−1)×(−1)+(−1)×1+1×0 = 0 donc $\vec{CE}$⊥$\vec{BD}$
Le vecteur $\vec{BD}$ est orthogonal au vecteur $\vec{CE}$ qui est un vecteur normal au plan (IJK) donc la droite (BD) est parallèle au plan (I JK).

Utiliser les vecteurs

1) Lorsque deux vecteurs sont égaux :

Cela permet de montrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme !

Ensuite on peut voir si c'est un rectangle (diagonales de même longueur), losange (cotés consécutifs égaux, ... ) ou un carré.

2) Lorsque deux vecteurs sont colinéaires :

On cherche un coefficient $k$ tel que $\vec{u}=k\vec{v}$

Cela peut permettre de :

- Montrer que deux droites sont parallèles (avec les vecteurs directeurs) .

- Montrer que deux plans sont paralléles (avec les vecteurs normaux).

- Montrer que deux plans sont paralléles (deux vecteurs directeurs de l'un colinéaires à deux vecteurs de l'autre).

- Montrer que trois points définissent un plan ($\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ non colinéaire ).

3) Lorsque deux vecteurs sont orthogonaux :

On calcul $\vec{u}.\vec{v}=xx'+yy'+zz'$.

Si $\vec{u}.\vec{v}=0$ alors $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux.

Cela peut permettre de :

- Montrer que deux droites sont orthogonaux (avec les vecteurs directeurs) .

- Montrer que deux plans sont orthogonaux (avec les vecteurs normaux).

- Montrer qu'un parallélogramme est un rectangle (1 angle droit), un losange (diagonales perpendiculaires), un carré.

- Montrer qu'un triangle est rectangle.

- M est sur la sphère de diamêtre $[AB]$ si et seulement si $\vec{AM}.\vec{BM}=0$

2 plans sont parallèles si ils ont le même vecteur normal. $\vec{CE}$ est normal au plan (IJK). Il faut que le vecteur $\vec{CE}$ soit normal au plan (BDM). 

Soit M un point de la droite (CE) donc les vecteurs $\vec{CM}$ et $\vec{CE}$ sont colinéaires.

On a donc $\vec{CM}$= k$\vec{CE}$ (où k ∈ R), ce qui équivaut à :

xM −xC = k ×(−1)                      xM = 1−k
yM − yC = k ×(−1)      $\iff$     yM = 1−k
zM −zC = k ×1                           zM = k

Le plan (BDM) et le plan (I JK) sont parallèles, s’ils ont les mêmes vecteurs normaux ; autrement dit pour que le plan (BDM) soit parallèle au plan (I JK) il faut et il suffit que le vecteur $\vec{CE}$ qui est normal au plan (I JK) soit également normal au plan (BDM).

Comme ce vecteur est déjà orthogonal au vecteur $\vec{BD}$, il suffit qu’il soit orthogonal à un deuxième vecteur directeur du plan (BDM) non colinéaire à $\vec{BD}$, soit $\vec{BM}$.

Le vecteur $\vec{BM}$ a pour coordonnées :

xM −xB = 1−k −1 = −k
yM − yB = 1−k −0 = 1−k
zM −zB = k −0 = k

$\vec{BM}$⊥$\vec{CE}$ $\iff$ $\vec{BM}$.$\vec{CE}$ = 0 $\iff$ (−k)×(−1)+(1−k)×(−1)+k ×1 = 0 $\iff$ k −1+k +k = 0
$\iff$ k = ${1}\over{3}$

Donc M a pour coordonnées (1-${1}\over{3}$;1-${1}\over{3}$;${1}\over{3}$)=(${2}\over{3}$;${2}\over{3}$;${1}\over{3}$)