$\overline{M}$ = 1 - $p$

1.

a) On complète l'arbre de probabilité :

Penser à la loi des probabilités totales.

De plus, P(M) = p

D'après l'arbre :

$P(M \cap T) = P(M)\times P_M(T)=p\times 0,98 = 0,98p$

$P(\overline M \cap T) = P(\overline M)\times P_{\overline M}(T)=(1-p)\times 0,01 = 0,01 - 0,01p$
 

D'après la formule des probabilités totales:

$P(T)=P(M \cap T) + P(\overline{M} \cap T) = 0,98p + 0,01-0,01p = 0,097p+0,01$

Utiliser la loi de probabilité total

Definition :

Sur la figure ci dessus l'événement B figure a deux endroits:

Pour calculer sa probabilité, on utilisera la loi de probabilité total :

$P(B)=P(A \cap B)+P(\overline{A} \cap B)$

Exemple :

pour obtenir la probabilité de choisir un blond dans une population, je peux ajouter la probabilité de trouver un blond au yeux bleux et la probabilité de trouver un blond qui n'à pas les yeux bleux.

En image :

Généralisation:

La loi de probabilité total s'écrit alors :

$P(A)=P(A\cap E_1)+...+P(A\cap E_n)$

Utiliser les résultats de la question précédente. 

La probabilité de $M$ sachant $T$ est $P_T(M)$

La probabilité de $M$ sachant $T$ est $P_T(M)=\dfrac{P(M\cap T)}{P(T)} = \dfrac{0,98p}{0,97p+0,01} = \dfrac{98p}{97p+1} = f(p)$ où $f$ est définie sur [0;1] .

Calculer une probabilité conditionnellle

Définition :

Soient A et B deux évènements se déroulant successivement.

Si A est réalisé, la probabilité que B se réalise n'est à priori pas la même que si A n'est pas réalisé.

Sur l'arbre ci-dessous, la probabilté que B se réalise sachant que A est réalisé est noté $P_A(B)$

Remarques :

A partir chaque noeud, la somme des probabilités est 1 : $P_A(B)+P_\bar{A}(B)=1$

La somme des quatre événements de droite vaut 1.

Etudier le signe de la dérivée

$f'(p)=\dfrac{98\times (97p+1) - 98p\times 97}{(97p+1)^2} = \dfrac{98}{(97p+1)^2} >0$ sur [0;1].

La fonction $f$ est donc strictement croissante sur [0;1]

Il faut traduire l'énoncé : La probabilité f(p) qu'une personne  ayant un test positif soit réellement atteinte du chikungunya est égale à  0,95 quand la proportion p est solution de l'équation f(p)=0,95

La probabilité $f(p)$ qu'une personne  ayant un test positif soit réellement atteinte du chikungunya est égale à  $0,95$ quand la proportion $p$ est solution de l'équation $f(p)=0,95$:

$f(p)=0,95 \iff \dfrac{98p}{97p+1} = 0,95 \iff {9800}p=95\times (97p+1) \iff 585p=95 \iff p=\dfrac{19}{117}$ soit approximativement $0,162$. 

La fonction $f$ est strictement croissante sur $ 0\,;\,1$ donc si $p>\dfrac{19}{117}$, alors $f(p)>0,95$.

C'est donc à partir d'une proportion $p=\dfrac{19}{117}\approx 16,2\,\%$ de malades dans la population que le test sera fiable.

Le mot-clé "tirage avec remise" devrait donner l'idée de la loi de $X$...

On prend $p = 0,15$.

Pour une personne prise au hasard, il n'y a que deux issues possibles: elle est malade (avec une probabilité $p=0,15$) ou elle n'est pas malade (avec la probabilité $1-p=0,85$).
        
On choisit 1000 personnes, ce qui revient à une répétition de façon indépendante de 1000 tirages avec remise. 
        
La variable aléatoire $X$ qui donne le nombre de personnes malades dans un échantillon de 1000 personnes suit donc la loi binomiale de paramètres 1000 et $p=0,15$.    

Définir $f$, $n$ et la probabilité $p$ que l'on souhaite tester.

Dans un échantillon de 1000 personnes choisies au hasard dans l'île, on dénombre 197 personnes atteintes par le virus donc la fréquence observée est $f=0,197$.

$n =1000 \leq 30$, $np =150 \leq 5$ et $n(1-p)=850 \leq 5$ donc on peut déterminer un intervalle de fluctuation $I$ de la fréquence $F$ de personnes malades au seuil de 95% :

Comme 0,197 n'appartient pas à l'intervalle [0,127 ; 0,173] on peut en déduire que l'hypothèse d'un pourcentage de 15% est sous-évaluée.

Déterminer l'intervalle au seuil de 95%

Définition:

Si on répéte n fois une experience comportant deux issues (succés de probabilité p et echec ).

La loi de probabilité s'appelle la loi binomiale de paramêtre (n;p) et se note B(n,p)

Le résultats obtenu d'une expérience dépend du hasard.

Mais on montre qu'il ne 'séloigne' jamais trop de $\mu=n\times p$

Dans $95%$ des cas, le résultat sera dans l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95%$ :

$ I_F=[p-1.96 {\sqrt{p(1-p)} \over \sqrt{n}}; p+1.96 {\sqrt{p(1-p)} \over \sqrt{n}}]$

Prise de decision :

Si le résultat de l'expérience appartien à l'intervalle, cela confirme l'hypothèse.

Sinon cela remet en question l'hypothèse.

Méthode:

On identifie l'hypothèse que l'on veut tester et donc la probabilité $p$ que l'on veut confirmer ou non.

On determine le nombre $n$ de fois ou on réalise l'experience.

On calcul alors l'intervalle $I_F$

On calcul la fréquence $f$ résultat du test.

On regarde si $f$ est dans l'intervalle.

On prend une décision.

Penser à vérifier les conditions d'utilisation d'un intervalle de confiance

Utiliser un intervalle de confiance

La moyenne est le sommet de la courbe de Gauss

D'après le graphique donné en annexe, on peut conjecturer que $\mu \approx 120$.    

Penser à quel paramètre revient le nombre 10

D'après le cours, si la loi $T$ suit la loi normale de paramètres $\mu$ et $\sigma=10$, alors la variable aléatoire $T'=\dfrac{T-\mu}{10}$ suit la loi normale centrée réduite.

Calculer une probabilité avec une loi normale

Défintion :

Une variable aléatoire continue T suit la loi normale centrée réduite lorsque sa fonction de densité est $f(x)={1 \over \sqrt{2\pi}} e^{-{x² \over 2}} $.

On note : X suit $N(0,1)$

Une variable aléatoire continue X suit la loi normale d'espérance $\mu$ et d'ecart type $\sigma$ lorsque la variable $T={X-\mu \over \sigma} $ suit la loi normale centrée réduite.

On note : X suit la loi $ N(\mu,\sigma²)$

Remarque :

Le théorème de Moivre-Laplace justifie que dans une situation de répétition de $n$ experiences identiques et indépendantes , on peut approximer une loi binomiale par une loi normal.

Cela fait de la loi normal l'une des plus utilisée !

Calcul :

On utlise la calculatrice :

Casio : Menu STAT, DIST, NORM, Ncd

Lorsqu'on connait $\mu$ et $\sigma$ on peut calculer $P(a<X<b)$

Astuce :

par symetrie on à $P(X<\mu)=P(X>\mu)={1 \over 2}$

On en déduit par exemple pour $a>\mu$ on peut écrire $P(X>a)={1 \over 2}-P(\mu<X<a)$

Cela permet d'effectuer des calculs sans utiliser l'infinie !

Ces formules s'obtiennent en observant un graphique.

Calculer éspérance ou écart type avec une loi normale

Inverser une loi normal :

C'est le cas ou l'on connait la loi normal $N(\mu,\sigma²)$ et l'aire (ou la probabilité ) mais pas la borne correspondante.

Par exemple je sais que la variable $T$ suit la loi $N(0,1)$ et que $P(-a<T<a)=0,95$ . Combien vaut a ?

On utilise la calculatrice :

Casio : STAT, DIST, NORM, InvN

On peut choisir CNTR pour préciser que l'aire est symetrique par rapport à $\mu$

On obtient a=1.96

Sur TI on n'a que l'option left. On cherche $P(T<a)=0.975$ pour obtenir le même résultat.

(en effet cela revient à enlever 5% de l'aire donc 2,5% de chaque coté par symetrie )

Centrer et réduire une loi :

Si X suit une loi normale $N(\mu,\sigma)$

Alors la variable $T={X-\mu \over \sigma} $ suit la loi normale $N(0,1)$

et $P(a<X<b)=P({a-\mu \over \sigma}<T<{b-\mu \over \sigma})

Methode si on doit trouver l'esperance :

ex : X suit la loi $N(\mu, 2²)$ et on sait que $P(X<8)=0.9$. On cherche $\mu$ .

On a $\sigma=2$ donc soit $T={X-\mu \over 2}$, T suit la loi $N(0,1)$

de plus $P(T<{8-\mu \over 2})=0.9$

la calculatrice nous donne ${8-\mu \over 2}=1.28$

Soit $\mu=8-2.56=5,44$

Effectuer un changement de variable puis utiliser sa calculatrice sachant que $T'$ suit une loi centrée réduite.

$P\left ( T <110\right )=0,18 \iff P\left ( T'< \dfrac{110-\mu }{10} \right )=0,18$

On cherche à la calculatrice le réel $\beta$ tel que $P(T'<\beta)=0,18$ sachant que $T'$ suit la loi normale centrée réduite.
On trouve $\beta \approx {-0,915}$. 

On résout $\dfrac{110-\mu }{10} = {-0,915}$ et on trouve $\mu \approx 119$ valeur proche de celle de la conjecture faite à la question 1.

Calculer éspérance ou écart type avec une loi normale

Inverser une loi normal :

C'est le cas ou l'on connait la loi normal $N(\mu,\sigma²)$ et l'aire (ou la probabilité ) mais pas la borne correspondante.

Par exemple je sais que la variable $T$ suit la loi $N(0,1)$ et que $P(-a<T<a)=0,95$ . Combien vaut a ?

On utilise la calculatrice :

Casio : STAT, DIST, NORM, InvN

On peut choisir CNTR pour préciser que l'aire est symetrique par rapport à $\mu$

On obtient a=1.96

Sur TI on n'a que l'option left. On cherche $P(T<a)=0.975$ pour obtenir le même résultat.

(en effet cela revient à enlever 5% de l'aire donc 2,5% de chaque coté par symetrie )

Centrer et réduire une loi :

Si X suit une loi normale $N(\mu,\sigma)$

Alors la variable $T={X-\mu \over \sigma} $ suit la loi normale $N(0,1)$

et $P(a<X<b)=P({a-\mu \over \sigma}<T<{b-\mu \over \sigma})

Methode si on doit trouver l'esperance :

ex : X suit la loi $N(\mu, 2²)$ et on sait que $P(X<8)=0.9$. On cherche $\mu$ .

On a $\sigma=2$ donc soit $T={X-\mu \over 2}$, T suit la loi $N(0,1)$

de plus $P(T<{8-\mu \over 2})=0.9$

la calculatrice nous donne ${8-\mu \over 2}=1.28$

Soit $\mu=8-2.56=5,44$