Partie A

On considère l'algorithme suivant :

Faire fonctionner cet algorithme pour $p = 2$ en indiquant les valeurs des variables à chaque étape.

Quel nombre obtient-on en sortie ?

On obtient en sortie : $- 0,5$.

Partie B

Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par son premier terme $u_0 = 5$ et, pour tout entier naturel $n$ par \[u_{n+1} = 0,5u_n + 0,5n - 1,5.\]

1) Modifier l'algorithme de la première partie pour obtenir en sortie toutes les valeurs de $u_n$
pour $n$ variant de 1 à $p$.

Il faut faire apparaître les valeurs de u_n à l'issue de chaque étape du traitement.

Algorithme modifié :

2) À l'aide de l'algorithme modifié, après avoir saisi $p = 4$, on obtient les résultats suivants :

Peut-on affirmer, à partir de ces résultats, que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante ?

Justifier.

Il faut regarder les valeurs de u_n du tableau pour n allant de 1 à 4.

Puisque $u_4 > u_3$ la suite $\left(u_n\right)$ n'est pas décroissante, du moins pas avant le rang 4.

3) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 3, $u_{n+1} > u_n$.

Que peut-on en déduire quant au sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$ ?

Initialisation : On vient de voir que $u_4 > u_3$ : la relation est vraie pour $n = 3$.

Hérédité : On suppose qu'il existe un naturel $p$ tel que $u_{p+1} > u_p$.

D'où $0,5u_{p+1} > 0,5u_p$ ;
D'autre part : $p+1 > p \Rightarrow 0,5(p + 1) > 0,5p$ d'où par somme des ces deux dernières inégalités :

$0,5u_{p+1} + 0,5(p + 1) > 0,5u_p + 0,5p$ et en ajoutant $- 1,5$ à chaque membre :

$0,5u_{p+1} + 0,5(p + 1) - 1,5 > 0,5u_p + 0,5p - 1,5$ soit $u_{p+2} > u_{p+1}$ : la relation est vraie au rang $p + 1$.

Conclusion : On a donc démontré que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 3, $u_{n+1} > u_n$ ce qui montre que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante à partir du rang 4.

Utiliser une récurence

Définition : Pour démontrer une propriété par récurence, il faut montrer que celle-ci est vraie pour un entier $n_0$ fixé.

Puis en partant du principe que la propriété est vraie pour $n$, on montre qu'elle l'est aussi pour $n+1$.

Cela prouve qu'elle est vrai pour tous les entiers n plus grand que $n_0$

Principe : On peut par exemple imaginer des dominos. Qu'elles sont les conditions pour que tous les dominos tombent ? Il faut que :

le premier domino tombe,
un domino doit faire tomber le suivant

1^ère étape : On note la propriété P(n)" ..... " que l'on veut démontrer (cela peut être une égalité, une inégalité, une phrase quelconque, ...).

exemple : P(n) " $U_{n}\leq U_{n+1} $"

2^èmeétape : On définit les conditions.

exemple : $\forall n \in \mathbb{N}$ donc on commence à $n=0$

3^èmeétape : Initialisation : On montre que P(n) est vraie pour le premier n.

exemple : Montrons que p(n) est vraie pour $n=0$ : U₀$\leq$ U₁

4^èmeétape : Hérédité : Supposons que pour un n fixé, on ait : P(n) et montrons que P(n+1) est vraie.

exemple : Supposons que pour un n fixé, on ait : $U_{n}\leq U_{n+1} $ et montrons que $U_{n+1} \leq U_{n+2}$

5^èmeétape : Conclusion : Donc on peut dire que pour "quelque soit n appartenant à ... ", la propriété est vrai.

exemple : $\forall n \in \mathbb{N}$ $U_{n}\leq U_{n+1} $

4) Soit $\left(v_n\right)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = 0,1u_n - 0,1n + 0,5$.

Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $0,5$ et exprimer alors $v_n$ en fonction de $n$.

Commencer par poser la suite v au rang n+1 :

v_n+1 = 0,1u_n+1 - 0,1(n + 1) + 0,5 puis développer...

Pour tout naturel n, on a :

v_n+1 = 0,1u_n+1 - 0,1(n + 1) + 0,5

= 0,1u_n+1 - 0,1n + 0,4

= 0,1(0,5u_n + 0,5n - 1,5) - 0,1n + 0,4

= 0,05u_n + 0,05n - 0,15 - 0,1n + 0,4

= 0,05u_n - 0,05n + 0,25

= 0,5(0,1u_n - 0,1n + 0,5)

= 0,5v_n : la suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison 0,5.

Le premier terme est :

$v_0 = 0,1 \times 5 - 0,1 \times 0 + 0,5 = 1$.

On a donc pour tout naturel n, v_n= 1 x 0,5ⁿ= 0,5ⁿ = 1/2ⁿ.

Utiliser les suites arithmétiques, géométriques

1°) Suite arihtmétique

Une suite est dite arithmétique si pour tout entier naturel n on a : U_n+1=U_n+ r

où r est la raison de cette suite.

Remarque 1: pour vérifier qu'une suite est arithmétique, on calcule U_n+1- U_n

Si on obtient une valeur constante alors la suite (U_n) est une suite arithmétique.

Si on obtient une valeur qui dépend de n alors la suite n'est pas une suite arithmétique.

Exemple :

U_{n+1 =} U_{n + 3 donc la suite}U_{n est arithmétique de raison 3.}

Si l'on cherche à calculer un terme n d'une suite arithmétique dont l'on connait la raison ainsi que le premier terme , alors il est possbile de calculer U_nà l'aide de la formule :

U_n= U_p + (n-p)×r (où U_p est le terme initial).

Remarque 2: cas particulier si U₀ est le terme initial, alors U_n=U₀+nr.

Remarque 3: toute suite arithmétique est caractérisée par sa raison r et son premier terme.

2°) Suite géométrique

Soit q un nombre réel donné. On dit qu’une suite $(v_n)$ est une suite géométrique de raison q, lorsqu'on donne son premier terme $v_0$ et chaque terme s’obtient en multipliant le terme précédent par q. Autrement dit : $V_0∈ℝ$ est donné et pour tout entier naturel n :

$v_{n+1}=v_n×q$

On peut montrer que $V_n=V_0*q^n$ ou que $V_n=V_p*q^{n-p}$

3°) Quel intérêt ?

1) A partir d'une expression définie par récurrence, on obtient une suite définie en fonction de n ( par exemple on peut calculer diectement $U_{5027}$ sans calculer les termes précédents.

2) Une formule permet de calculer rapidement la somme des termes d'une suite aithmétiques : $S={(premier_terme+dernier)\times nombre \over 2}$

3) Une formule permet de calculer rapidement la somme des termes d'une suite géométriques : $S=(premier_terme)\frac{1-q^{nombre}}{1-q}$

5) En déduire que, pour tout entier naturel $n$, \[u_n = 10 \times 0,5^n + n - 5.\]

Remplacer par l'expression de v_n trouvée à la question précédente

On a : v_n = 0,1 u_n - 0,1 n + 0,5 ⇔ 0,5ⁿ= 0,1 u_n - 0,1 n + 0,5

⇔ 10 × 0,5ⁿ= u_n - n + 5

⇔ u_n= 10 × 0,5ⁿ+ n - 5.

6) Déterminer alors la limite de la suite $\left(u_n\right)$.

Comme $- 1 < 0,5 < 1$, on a $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} 0,5^n = 0$ et comme $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} n = + \infty$, on a donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}u_n = + \infty$.
La suite $\left(u_n\right)$ ne converge pas.

Déterminer la limite d'une suite

Cas d'une suite géométrique :

Une suite géomètrique de raison $-1<q<1$ est convergente vers 0.

Une suite géomètrique de raison $q>1$ et $U_0>0$ est divergente vers $+\infty$.

Cas d'une suite arithmètique :

Une suite arithmètique de raison $r>0$ est divergente vers $+\infty$.

Une suite arithmètique de raison $r<0$ est divergente vers $-\infty$.

Cas d'une suite définie par une fonction : $U_n=f(n)$

On utilise les techniques des fonctions : $ \lim\limits_{x \to \infty} f(x) = \lim\limits_{n \to \infty} U_n $

Dans certains cas ce n'est pas possible ( sin et cos n'ont pas de limites) ou faisable de calculer la limite .

On peut alors penser aux thèorèmes de comparaison:

- Si $U_n>V_n$ pour tout $n$ et $\lim\limits_{n \to \infty} V_n = + \infty $ alors $\lim\limits_{n \to \infty} U_n = + \infty $

- Si $U_n<V_n$ pour tout $n$ et $\lim\limits_{n \to \infty} V_n = - \infty $ alors $\lim\limits_{n \to \infty} U_n = - \infty $

On peut aussi penser au thèorème des gendarmes:

- Si $W_n>U_n>V_n$ pour tout $n$ et $\lim\limits_{n \to \infty} W_n = l $ et $\lim\limits_{n \to \infty} V_n = l $ alors $\lim\limits_{n \to \infty} U_n = l $

Cas des suites définies par récurrence :

exemple : $U_{n+1}={9 \over {6-U_n}}$ et $U_0=1$

1) On montre que $U_n$ est majorée par 3.

2) On montre que $U_n$ est croissante.

3) On en déduit que $U_n$ est convergente vers une limite $l$

4) Si $U_n$ tend vers $l$, alors $U_{n+1}$ également donc $l$ est solution de ${9\over{6-l}}=l$

Une seule des solutions est dans l'intervalle $[1;3]$ : c'est la limite $l$

Remarque : Il peut être utile de d'abord montrer que $f(x)={9\over{6-x}} $ est croissante

Remarque : avec $U_0=5$ la suite est décroissante, minorée et convergente vers la même limite.