— une deuxième ligne a pour extrémités le point A et un point E du segment [DC] ;

Pour $E$, on déduit l'ordonnée du point en regardant à quelle droite il appartient.

De plus, on connaît la valeur de $AD$ et celle du triangle $ADE$. On en déduit une égalité dans laquelle on retrouve $DE$ (égale à l'abscisse du point $E$). On résout l'équation.

Pour $G$, on prouve que $GH$ est égale à l'ordonné du point et on utilise la même méthode que précédemment en utilisant l'aire et les longueurs connues.

De plus, on regarde à quelle droite appartient le point $G$ puis on trouve une équation de cette droite grâce aux coordonnées connues des points appartenant à cette dernière. On trouve une équation de la forme $y=\dfrac{3}{2}x$. On connaît $y_G$ donc on en déduit $x_G$.

On en conclue les coordonnées des 2 points. 

Dans cette proposition les trois lignes sont des segments et les trois aires sont égales : $r = s = t = \dfrac{1}{3}$.

Le point E est situé sur la droite (CD) donc son ordonnée vaut 1.

Le nombre r est l'aire du triangle ADE qui est égale à
$\dfrac{AD \times DE}{2}$.

De plus, cette aire doit valoir $\dfrac{1}{3}$ et on sait que AD=1.

Donc $\dfrac{AD \times DE}{2} = \dfrac{1}{3}$ entraîne $DE=\dfrac{2}{3}$.

Les coordonnées de E sont donc $\left ( \dfrac{2}{3}\,;\, 1\right )$.

Soit H le pied de la hauteur issue de G dans le triangle ABG; donc GH est l'ordonnée du point G.

L'aire s du triangle ABG est: $\dfrac{AB \times GH}{2}$. Or AB=1 et $s=\dfrac{1}{3}$, donc: $\dfrac{1 \times GH}{2}= \dfrac{1}{3}$ donc $GH=\dfrac{2}{3}$. L'ordonnée $y_G$ de $G$ est $\dfrac{2}{3}$.


Le point G est situé sur la droite (AE). Les points A et E ont pour coordonnées respectives $(0\,;\,0)$ et $\left ( \dfrac{2}{3}\,;\, 1 \right )$. Donc la droite (AE) a pour équation $y=\dfrac{3}{2}x$.

$G\in (AE)$ d'équation $y=\dfrac{3}{2}x$ donc $y_G=\dfrac{3}{2}x_G$.
Comme $y_G=\dfrac{2}{3}$, on déduit que $x_G=\dfrac{4}{9}$.

Le point G a pour coordonnées $\left ( \dfrac{4}{9} \,;\, \dfrac{2}{3}\right )$.

Avec l'ordonnée $y_E=f(x_E)$ du point $E$, on cherche $x_E$.

D'après le texte, l'ordonnée $y_E$ du point $E$ est égale à 1 et ce point appartient à $\mathcal C_f$ donc :

$f(x_E)=y_E \iff \ln (2x_E+1) = 1 \iff 2x_E+1 = e \iff x_E=\dfrac{e-1}{2}$  

Trouver les solutions d'une équation

Définition : On utilise les méthodes : 

-Quand on a une équation du type $ln(a) = ln(b)$ ou une inéquation du type $ln(a) \leq ln(b)$

-Quand on a une équation du type $ln(a) = b$ ou inéquation du type $ln(a)\leq b$

Propriété : Pour tous réels a et b strictement positifs : ($a>0$ et $b>0 !$)

• $ln(a) > ln (b)$ équivaut à $a > b$ car quand on passe à l'exponentiel des deux côtés ($e^{ln(a)}>e^{ln(b)}$)

•$ ln(a) = ln (b)$ équivaut à $a = b$ (pour les mêmes raisons que ci-dessus) conséquences :

Pour tout réel x strictement positif : ($x>0$)

• $ln (x) = 0$ équivaut à $x = 1$ (car $e^0=1$)

•$ln (x) < 0$ équivaut à $0 < x < 1$ (car $e^0=1$ et $x>0$)

• $ln (x) > 0$ équivaut à $x > 1$ (car $e^0=1$)

1°Exemple :

$ln(x^{2}-4) = ln(3x)$

Pour résoudre cette équation il faut d'abord regarder quand est-ce que $x^2-4$ et $3x$ sont supérieur à 0 car $ln(a)$ existe si et seulement si $a>0$

Donc on a : 

$x^2-4>0$ et $3x>0$

$x^2>4$ et $\frac{3x}{3}>\frac{0}{3}$

$x>\sqrt{4}$ et $x>0$

Donc la solution existe quand x est supérieur à -2 à 2 et à 0

Or x>0

Donc la solution existe quand x est supérieur à 2

Ensuite on passe l'équation à l'exponentiel :

On a $e^{ln(x^2-4)}=e^{ln(3x)}$

Donc $x^2-4=3x$

On peut ensuite résoudre l'équation $x^2-3x-4=0$

$\Delta=b^2-4ac$, avec $b=-3$, $a=1$ et $c=-4$

$\Delta=25$

On obtient donc :

x₁=$\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$     et x₂=$\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$

x₁=$\frac{3-\sqrt{25}}{2}$     et x₂=$\frac{3+\sqrt{25}}{2}$

Donc :

x₁=$\frac{-2}{2}=-1$    et x₂=$\frac{8}{2}=4$

Or nous avons dit que la solution existait si et seulement si $x>2$

donc l'ensemble de solution est S={4}

2°Exemple:

${4ln(x)}^2+5ln(x)-3=0$

On peut résoudre l'équation en posant $X=ln(x)$

On a : $4X^2+5X-3$

On a une équation du second degré donc on peut résoudre:

$\Delta=5^2-4\times4\times(-3)$

$\Delta=73$

On a :

X₁=$\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$    et X₂=$\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$

X₁=$\frac{-5-\sqrt{73}}{2\times4}$     et X₂=$\frac{-5+\sqrt{73}}{2\times4}$

Or X=ln(x)

Donc X₁=ln(x)   et X₂=ln(x)

x₁=$e^{\frac{-5-\sqrt{73}}{8}}$    et x₂=$e^{\frac{-5+\sqrt{73}}{8}}$

Donc l'ensemble de solution est

S={$e^{\frac{-5-\sqrt{73}}{8}};e^{\frac{-5+\sqrt{73}}{8}}$}

3°Exemple:

$ln(3x)=6$

on passe à l'exponentiel

$3x = e^6$

$x=\frac{e^6}{3}$

On connaît l'abscisse du point $G$ et on sait que $G$ appartient à $\mathcal C_f$ et à $\mathcal C_g$.

L'abscisse du point $G$ vaut 0,5 et le point $G$ appartient à $\mathcal C_f$; donc:

$f(x_G)=y_G \iff f(0,5) = y_G \iff \ln 2 = y_G$

Le point $G$ appartient aussi à $\mathcal C_g$ donc:

$g(x_G)=y_G \iff k\left ( \dfrac{1 - x_G}{x_G}\right) = y_G \iff k\left ( \dfrac{1 - 0,5}{0,5} \right ) = \ln 2 \iff k=\ln 2$

Trouver les solutions d'une équation

Définition : On utilise les méthodes : 

-Quand on a une équation du type $ln(a) = ln(b)$ ou une inéquation du type $ln(a) \leq ln(b)$

-Quand on a une équation du type $ln(a) = b$ ou inéquation du type $ln(a)\leq b$

Propriété : Pour tous réels a et b strictement positifs : ($a>0$ et $b>0 !$)

• $ln(a) > ln (b)$ équivaut à $a > b$ car quand on passe à l'exponentiel des deux côtés ($e^{ln(a)}>e^{ln(b)}$)

•$ ln(a) = ln (b)$ équivaut à $a = b$ (pour les mêmes raisons que ci-dessus) conséquences :

Pour tout réel x strictement positif : ($x>0$)

• $ln (x) = 0$ équivaut à $x = 1$ (car $e^0=1$)

•$ln (x) < 0$ équivaut à $0 < x < 1$ (car $e^0=1$ et $x>0$)

• $ln (x) > 0$ équivaut à $x > 1$ (car $e^0=1$)

1°Exemple :

$ln(x^{2}-4) = ln(3x)$

Pour résoudre cette équation il faut d'abord regarder quand est-ce que $x^2-4$ et $3x$ sont supérieur à 0 car $ln(a)$ existe si et seulement si $a>0$

Donc on a : 

$x^2-4>0$ et $3x>0$

$x^2>4$ et $\frac{3x}{3}>\frac{0}{3}$

$x>\sqrt{4}$ et $x>0$

Donc la solution existe quand x est supérieur à -2 à 2 et à 0

Or x>0

Donc la solution existe quand x est supérieur à 2

Ensuite on passe l'équation à l'exponentiel :

On a $e^{ln(x^2-4)}=e^{ln(3x)}$

Donc $x^2-4=3x$

On peut ensuite résoudre l'équation $x^2-3x-4=0$

$\Delta=b^2-4ac$, avec $b=-3$, $a=1$ et $c=-4$

$\Delta=25$

On obtient donc :

x₁=$\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$     et x₂=$\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$

x₁=$\frac{3-\sqrt{25}}{2}$     et x₂=$\frac{3+\sqrt{25}}{2}$

Donc :

x₁=$\frac{-2}{2}=-1$    et x₂=$\frac{8}{2}=4$

Or nous avons dit que la solution existait si et seulement si $x>2$

donc l'ensemble de solution est S={4}

2°Exemple:

${4ln(x)}^2+5ln(x)-3=0$

On peut résoudre l'équation en posant $X=ln(x)$

On a : $4X^2+5X-3$

On a une équation du second degré donc on peut résoudre:

$\Delta=5^2-4\times4\times(-3)$

$\Delta=73$

On a :

X₁=$\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$    et X₂=$\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$

X₁=$\frac{-5-\sqrt{73}}{2\times4}$     et X₂=$\frac{-5+\sqrt{73}}{2\times4}$

Or X=ln(x)

Donc X₁=ln(x)   et X₂=ln(x)

x₁=$e^{\frac{-5-\sqrt{73}}{8}}$    et x₂=$e^{\frac{-5+\sqrt{73}}{8}}$

Donc l'ensemble de solution est

S={$e^{\frac{-5-\sqrt{73}}{8}};e^{\frac{-5+\sqrt{73}}{8}}$}

3°Exemple:

$ln(3x)=6$

on passe à l'exponentiel

$3x = e^6$

$x=\frac{e^6}{3}$

On dérive $F(x) = (x + 0,5) \times \ln (2x + 1) - x$ et on doit retrouver la fonction f.

Soit $F$ la fonction définie sur $R_+^*$ par $F(x) = (x + 0,5) \times \ln (2x + 1) - x$.

$F$ est dérivable sur $R_+^*$ et:

 $F'(x)=1\times \ln(2x+1) +(x+0,5)\times \dfrac{2}{2x+1}-1 = \ln(2x+1) +1-1=\ln(2x+1)=f(x)$

Donc $f$ a pour primitive $F$ sur $R_+^*$.

On calcule l'intégrale entre 0 et l'abscisse de $E$ puis on calcule l'aire du rectangle $ADEK$.

Soit $K$ le projeté orthogonal de $E$ sur $(AB)$. Comme le point $E$ a pour abscisse $\dfrac{e-1}{2}$, et que la fonction $f$ est positive, l'aire sous la courbe entre 0 et $\dfrac{e -1}{2}$ est donnée par:

$\int_0^{\frac{e - 1}{2}} f(x)d x = \left [ F(x)\right ]_0^{\frac{e - 1}{2}} = F\left (\frac{e - 1}{2} \right ) - F(0) = \dfrac{e}{2}\ln e -\dfrac{e -1}{2} - 0 = \dfrac{1}{2}$

L'aire du rectangle $ADEK$ est $AD\times DE = 1 \times \dfrac{e - 1}{2} = \dfrac{e - 1}{2}$.

Donc $r= \dfrac{e - 1}{2} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{e}{2} - 1$

Calculer une intégrale

Notion d'intégrale :

Une intégrale est définie pour une fonction positive, par une aire.

Mais dans le cas d'une fonction négative, cette intégrale est négative.

Au final, une intégrale, c’est un nombre réel qui peut être négative !

Calculer une intégrale peut donc notamment servir à calculer des aires, et ça se note comme cela : $ \int_a^b f(x)dx $

Calculer une intégrale :

Pour calculer l'intégrale d'une fonction, il faut d'abord calculer la primitive de cette fonction.

Ensuite, il suffit d'appliquer la formule : $ \int_a^b f(x)dx $ = F(b) - F(a) , avec F une primitive de la fonction f.

Pour préciser nos calculs, on va suivre cette démarche :

 $ \int_a^b f(x)dx = [F(x)]_a^b $

                   = F(b) - F (a)

Exemple :   $ \int_2^5 f(x)dx $ avec  $f(x)=2x^2+4x-5$

  Commençons par calculer F(x), la primitive de f(x) : $ F(x) = x^3+2x^2-5x $

  Ensuite on l'applique, $ \int_2^5 (3x²+4x-5) dx $ = $ [x^3+2x^2-5x]_2^5 $

                                                                           = $ 5^3 + 2*5^2 - 5*5 - ( 2^3 + 2*2^2 - 5*2) $

                                                                           = 125 + 50 - 25 - ( 8 + 8 - 10)

                                                                           = 150 - 6

                                                                           = 144

Pour le moment, on a juste calculer un nombre. Ce nombre peut être une aire dans le cas d'une fonction positive. 

Pour plus de détails sur les calculs d'aires voir: calculer une aire à l'aide d'une intégrale.

Trouver les solutions d'une équation

Trouver les solutions d'équations / d'inéquations.

 - La fonction exponentielle est strictement croissante sur R donc :

−> \(e^a\) = \(e^b\)   ⟺   a = b 

−> \(e^a\)  < \(e^b\)   ⟺   a < b

Exemple 1:

Résoudre dans R :
 3 \(e^x \) - 1 = 0

 3 \(e^x\) =1
\(e^x\) = \( {1 \over 3}\)
 ln (\(e^x\)) = ln (\( {1 \over 3}\))        On utilise la fonction logarithme qui annule la fonction exponentielle, afin d'isoler x.
 x = ln (1) - ln (3)
 x = - ln (3)

S = {- ln (3)}

Exemple 2:

Trouver les solutions d'une équation

Définition : On utilise les méthodes : 

-Quand on a une équation du type $ln(a) = ln(b)$ ou une inéquation du type $ln(a) \leq ln(b)$

-Quand on a une équation du type $ln(a) = b$ ou inéquation du type $ln(a)\leq b$

Propriété : Pour tous réels a et b strictement positifs : ($a>0$ et $b>0 !$)

• $ln(a) > ln (b)$ équivaut à $a > b$ car quand on passe à l'exponentiel des deux côtés ($e^{ln(a)}>e^{ln(b)}$)

•$ ln(a) = ln (b)$ équivaut à $a = b$ (pour les mêmes raisons que ci-dessus) conséquences :

Pour tout réel x strictement positif : ($x>0$)

• $ln (x) = 0$ équivaut à $x = 1$ (car $e^0=1$)

•$ln (x) < 0$ équivaut à $0 < x < 1$ (car $e^0=1$ et $x>0$)

• $ln (x) > 0$ équivaut à $x > 1$ (car $e^0=1$)

1°Exemple :

$ln(x^{2}-4) = ln(3x)$

Pour résoudre cette équation il faut d'abord regarder quand est-ce que $x^2-4$ et $3x$ sont supérieur à 0 car $ln(a)$ existe si et seulement si $a>0$

Donc on a : 

$x^2-4>0$ et $3x>0$

$x^2>4$ et $\frac{3x}{3}>\frac{0}{3}$

$x>\sqrt{4}$ et $x>0$

Donc la solution existe quand x est supérieur à -2 à 2 et à 0

Or x>0

Donc la solution existe quand x est supérieur à 2

Ensuite on passe l'équation à l'exponentiel :

On a $e^{ln(x^2-4)}=e^{ln(3x)}$

Donc $x^2-4=3x$

On peut ensuite résoudre l'équation $x^2-3x-4=0$

$\Delta=b^2-4ac$, avec $b=-3$, $a=1$ et $c=-4$

$\Delta=25$

On obtient donc :

x₁=$\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$     et x₂=$\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$

x₁=$\frac{3-\sqrt{25}}{2}$     et x₂=$\frac{3+\sqrt{25}}{2}$

Donc :

x₁=$\frac{-2}{2}=-1$    et x₂=$\frac{8}{2}=4$

Or nous avons dit que la solution existait si et seulement si $x>2$

donc l'ensemble de solution est S={4}

2°Exemple:

${4ln(x)}^2+5ln(x)-3=0$

On peut résoudre l'équation en posant $X=ln(x)$

On a : $4X^2+5X-3$

On a une équation du second degré donc on peut résoudre:

$\Delta=5^2-4\times4\times(-3)$

$\Delta=73$

On a :

X₁=$\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$    et X₂=$\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$

X₁=$\frac{-5-\sqrt{73}}{2\times4}$     et X₂=$\frac{-5+\sqrt{73}}{2\times4}$

Or X=ln(x)

Donc X₁=ln(x)   et X₂=ln(x)

x₁=$e^{\frac{-5-\sqrt{73}}{8}}$    et x₂=$e^{\frac{-5+\sqrt{73}}{8}}$

Donc l'ensemble de solution est

S={$e^{\frac{-5-\sqrt{73}}{8}};e^{\frac{-5+\sqrt{73}}{8}}$}

3°Exemple:

$ln(3x)=6$

on passe à l'exponentiel

$3x = e^6$

$x=\frac{e^6}{3}$

D'après les formules du cours , \(\dfrac{1-x}{x}=\dfrac{1}{x} - 1\)

$g(x)=\ln 2 \times \dfrac{1-x}{x} = \ln 2 \times \left ( \dfrac{1}{x} - 1\right )$

Donc une primitive de $g$ sur $]0\,;\, +\infty[$ est donnée par: $G(x)=\ln 2 \times (\ln x - x)$.

On cherche les valeurs approchées de $r$, $s$ et $t$ et on vérifie s'ils font partie de l'intervalle imposé par le fabricant.

$r = \dfrac{e}{2}-1 \approx 0,36 \in [0,3\,;\, 0,4]$.

$s = [\ln(2)]^2 + \dfrac{\ln (2) - 1}{2}  \approx 0,33 \in [0,3\,;\, 0,4]$

$t=1-r-s \approx 0,31 \in [0,3\,;\, 0,4]$

Donc la proposition B vérifie les conditions imposées par le fabriquant.