Calculer u_n+v_n pour tout n connaissant la population totale, conclure.

La population totale est constante et égale à  120 millions donc, pour tout entier naturel n, on peut dire que u_n+v_n=120.

Faire le calcul de u₁ :

On part de la population à u₀, on lui enlève la population qui fuit la ville et on lui ajoute la population qui fuit la campagne pour la ville. Simplifier pour trouver une expression en fonction de 90 et de 30. Conclure en remplaçant avec B2 et C2 et conclure pour B3.

De même pour C3.

On utilise un tableur pour visualiser l’évolution des suites (u_n) et (v_n). Dans B3 on entre la formule =0,9*B2+0,05*C2. Dans C3 on entre la formule =0,1*B2+0,95*C2.

Utiliser les suites arithmétiques, géométriques

1°) Suite arihtmétique

Une suite est dite arithmétique si pour tout entier naturel n on a : U_n+1=U_n+ r

où r est la raison de cette suite.

Remarque 1: pour vérifier qu'une suite est arithmétique, on calcule U_n+1 - U_n

Si on obtient une valeur constante alors la suite (U_n) est une suite arithmétique.

Si on obtient une valeur qui dépend de n alors la suite n'est pas une suite arithmétique.

Exemple :

U_{n+1 =} U_{n + 3 donc la suite} U_{n est arithmétique de raison 3.}

    Si l'on cherche à calculer un terme n d'une suite arithmétique dont l'on connait la raison ainsi que le premier terme , alors il est possbile de calculer U_n à l'aide de la formule : 

   U_n= U_p + (n-p)×r (où U_p est le terme initial).

Remarque 2: cas particulier si U₀ est le terme initial, alors U_n=U₀+nr.

Remarque 3: toute suite arithmétique est caractérisée par sa raison r et son premier terme.

2°) Suite géométrique 

Soit q un nombre réel donné. On dit qu’une suite $(v_n)$ est une suite géométrique de raison q, lorsqu'on donne son premier terme $v_0$ et chaque terme s’obtient en multipliant le terme précédent par q. Autrement dit : $V_0∈ℝ$ est donné et pour tout entier naturel n :

$v_{n+1}=v_n×q$ 

On peut montrer que $V_n=V_0*q^n$ ou que $V_n=V_p*q^{n-p}$

3°) Quel intérêt ?

1) A partir d'une expression définie par récurrence, on obtient une suite définie en fonction de n ( par exemple on peut calculer diectement $U_{5027}$ sans calculer les termes précédents.

2) Une formule permet de calculer rapidement la somme des termes d'une suite aithmétiques : $S={(premier_terme+dernier)\times nombre \over 2}$

3) Une formule permet de calculer rapidement la somme des termes d'une suite géométriques : $S=(premier_terme)\frac{1-q^{nombre}}{1-q}$

Regarder l'évolution de (u_n) et (v_n) grâce aux deux colonnes B et C du tableau et conjecturer (plus on va vers le bas du tableau, plus l'année augmente et donc n augmente).

D'après les données du tableur, la suite u_n (donc le nombre de ruraux) semble décroitre et tendre vers 40 millions, et la suite v_n (donc le nombre de citadins) semble croitre et tendre vers 80 millions.

Pour démontrer qu'une suite est croissante il faut qu'à chaque n croissant, u augmente, donc que u_n​+1>u_n

Méthode de récurrence : 1) l'initialisation (u₀ et u₁), 2) hérédité et conclusion. 

Soit Pn la propriété u_n > u_n+1.

• u₀ = 90 et u₁ = 0,85 u₀ = 0,85×90+6 = 82,5 donc u₀ > u₁ La propriété est vraie au rang 0.

• On suppose la propriété vraie au rang p > 0, c’est-à-dire u_p > u_p+1. u_p > u_p+1 ⇐⇒ 0,85u_p > 0,85u_p+1 ⇐⇒ 0,85u_p +6 > 0,85u_p+1 +6 ⇐⇒ u_p+1 > up+2 Donc la propriété est vraie au rang p +1 ; elle est héréditaire.

• P_n est vraie au rang 0 et est héréditaire, donc elle est vraie pour tout entier naturel n. Pour tout n, u_n > u_n+1 donc la suite (u_n) est décroissante.

Utiliser une récurence

Définition : Pour démontrer une propriété par récurence, il faut montrer que celle-ci est vraie pour un entier $n_0$ fixé.

Puis en partant du principe que la propriété est vraie pour $n$, on montre qu'elle l'est aussi pour $n+1$.

Cela prouve qu'elle est vrai pour tous les entiers n plus grand que $n_0$

Principe : On peut par exemple imaginer des dominos. Qu'elles sont les conditions pour que tous les dominos tombent ? Il faut que :

• le premier domino tombe,
• un domino doit faire tomber le suivant 

​

1^ère étape : On note la propriété P(n)" ..... " que l'on veut démontrer (cela peut être une égalité, une inégalité, une phrase quelconque, ...). 

exemple : P(n) " \(U_{n}\leq U_{n+1} \)"

2^ème étape : On définit les conditions.

exemple : \(\forall n \in \mathbb{N}\) donc on commence à $n=0$

3^ème étape : Initialisation : On montre que P(n) est vraie pour le premier n.

exemple : Montrons que p(n) est vraie pour $n=0$ : U₀\(\leq\) U₁ 

4^ème étape : Hérédité : Supposons que pour un n fixé, on ait : P(n) et montrons que P(n+1) est vraie. 

exemple : Supposons que pour un n fixé, on ait : \(U_{n}\leq U_{n+1} \) et montrons que \(U_{n+1} \leq U_{n+2}\)

5^ème étape : Conclusion : Donc on peut dire que pour "quelque soit n appartenant à ... ", la propriété est vrai.

exemple : \(\forall n \in \mathbb{N}\)  \(U_{n}\leq U_{n+1} \)

Montrer qu'une suite est monotone

Définition

-Une suite est croissante lorsque pour tous entier $n$ on a $U_{n+1} \geq U_n$.

-Une suite est décroissante lorsque pour tous entier $n$ on a $U_{n+1} \leq U_n$.

-Une suite est monotone si elle est soit croissante, soit décroissante.

Remarques

-Une suite croissante et majorée est  convergente.

-Une suite décroissante et minorée est également convergente.

Méthode

Dans le cas d'une suite définie en fonction de n, il faut étudier le signe de la dérivée pour en déduire les variations de la fonction puis de la suite.

Dans le cas d'une suite définie par récurrence, on peut aussi utiliser un raisonnement par récurrence.

Exemple

1) Suite définie en fonction de n:

$U_n=n^3-4$

La fonction $f(x)=x^3-4$ est croissante sur $]0;+\infty[$ (rappelons que n est un entier)

La suite $U_n$ est donc croissante.

2) Suite définie par récurrence:

La suite U_n est définie par:

U₀=2 et U_n+1 =\(\frac{Un+1} {2}\)

Démontrer par récurrence que $(U_n)$ est croissante.

Initialisation:

$U_1={3\over2}$ donc $U_1>U_0$

Hérédité:

Supposons que pour un entier n $U_{n+1}\geq U_n$ , montrons que $U_{n+2}\geq U_{n+1}$ :

$U_{n+1}\geq U_n$

$U_{n+1}+1 \geq U_n+1$

${{U_{n+1}+1} \over 2\ } \geq {U_n+1 \over 2}$

$U_{n+2}\geq U_{n+1}$

Conclusion:

\(\forall n \in \mathbb{N} , U_{n+1} \geq U_n\)

Utiliser le résultat des questions précédentes afin de répondre à la convergence. 

On admet que u_n est positive pour tout entier naturel n, donc la suite (u_n) est minorée par 0. On a vu que la suite était décroissante. Donc, d’après le théorème de la convergence monotone, la suite (u_n) est convergente. 

Montrer qu'une suite est majorée, minorée, bornée

Définition

-Une suite est majorée lorsqu'il existe un réel M tel que pour tout réel n, U_n<M. M est donc le majorant de la suite $(U_n)$.

-Une suite est minorée lorsqu'il existe un réel m tel que pour tout réel n, U_n>m. m est donc le minorant de la suite $(U_n)$.

-Une suite est bornée lorsqu'elle est majorée et bornée. Donc: $m<U_n<M$ pour tout réel n. 

Remarques

-Une suite croissante et majorée est  convergente.

-Une suite décroissante et minorée est également convergente.

Méthode

Dans le cas d'une suite définie en fonction de n, il faut étudier le signe de la dérivée pour en déduire les variations de la suite. Puis déterminer soit le majorant soit le minorant.

Dans le cas d'une suite définie par récurrence, on peut aussi utiliser un raisonnement par récurrence.

Exemple

1) Suite définie en fonction de n:

$U_n=n^3-4$

La fonction $f(x)=x^3-4$ est croissante sur $]0;+\infty[$ (rappelons que n est un entier)

La suite $U_n$ est donc minoré par $U_0=-4$ et n'est pas majorée.

2) Suite définie par récurrence:

La suite U_n est définie par:

U₀=2 et U_n+1 =\(\frac{Un+1} {2}\)

Démontrer par récurrence que $(U_n)$ est minorée par 1.

Initialisation:

U₀ \(\geq 1\) car \(2 \geq 1\)

Hérédité:

Supposons que pour tout n fixé U_n \(\geq 1 \), montrons que U_n+1 \(\geq1\):

U_n \(\geq 1\)

U_n +1\(\geq 2\)

\(\frac{Un+1}{2}\) \(\geq 1\)

U_n+1 \(\geq 1\)

Conclusion:

\(\forall n \in \mathbb{N} , Un \geq 1\)

Montrer qu'une suite est monotone

Définition

-Une suite est croissante lorsque pour tous entier $n$ on a $U_{n+1} \geq U_n$.

-Une suite est décroissante lorsque pour tous entier $n$ on a $U_{n+1} \leq U_n$.

-Une suite est monotone si elle est soit croissante, soit décroissante.

Remarques

-Une suite croissante et majorée est  convergente.

-Une suite décroissante et minorée est également convergente.

Méthode

Dans le cas d'une suite définie en fonction de n, il faut étudier le signe de la dérivée pour en déduire les variations de la fonction puis de la suite.

Dans le cas d'une suite définie par récurrence, on peut aussi utiliser un raisonnement par récurrence.

Exemple

1) Suite définie en fonction de n:

$U_n=n^3-4$

La fonction $f(x)=x^3-4$ est croissante sur $]0;+\infty[$ (rappelons que n est un entier)

La suite $U_n$ est donc croissante.

2) Suite définie par récurrence:

La suite U_n est définie par:

U₀=2 et U_n+1 =\(\frac{Un+1} {2}\)

Démontrer par récurrence que $(U_n)$ est croissante.

Initialisation:

$U_1={3\over2}$ donc $U_1>U_0$

Hérédité:

Supposons que pour un entier n $U_{n+1}\geq U_n$ , montrons que $U_{n+2}\geq U_{n+1}$ :

$U_{n+1}\geq U_n$

$U_{n+1}+1 \geq U_n+1$

${{U_{n+1}+1} \over 2\ } \geq {U_n+1 \over 2}$

$U_{n+2}\geq U_{n+1}$

Conclusion:

\(\forall n \in \mathbb{N} , U_{n+1} \geq U_n\)

Exprimer w_n+1 en fonction de w_n et calculer w₀ (afin de définir le premier terme). Conclure.

• w_n+1 = u_n+1 −40 = 0,85u_n +6−40 = 0,85(w_n +40)−34 = 0,85w_n +34−34 = 0,85w_n

• w₀ = u₀ −40 = 90−40 = 50 Donc la suite (w_n) est géométrique de raison q = 0,85 et de premier terme w₀ = 50.

Connaissant la propriété des suites géométriques sur leur expression en fonction de n (voir cours si pas connue), on peut en déduire l'expresion de w_n en fonction de n et comme u_n s'exprime en fonction de w_n, on conclue sur l'expression de u_n.

D’après les propriétés des suites géométriques, pour tout n : w_n = w₀ × q ⁿ = 50×0,85n Comme pour tout n, u_n = w_n +40, on peut dire que u_n = 50×0,85n +40

Utiliser les suites arithmétiques, géométriques

1°) Suite arihtmétique

Une suite est dite arithmétique si pour tout entier naturel n on a : U_n+1=U_n+ r

où r est la raison de cette suite.

Remarque 1: pour vérifier qu'une suite est arithmétique, on calcule U_n+1 - U_n

Si on obtient une valeur constante alors la suite (U_n) est une suite arithmétique.

Si on obtient une valeur qui dépend de n alors la suite n'est pas une suite arithmétique.

Exemple :

U_{n+1 =} U_{n + 3 donc la suite} U_{n est arithmétique de raison 3.}

    Si l'on cherche à calculer un terme n d'une suite arithmétique dont l'on connait la raison ainsi que le premier terme , alors il est possbile de calculer U_n à l'aide de la formule : 

   U_n= U_p + (n-p)×r (où U_p est le terme initial).

Remarque 2: cas particulier si U₀ est le terme initial, alors U_n=U₀+nr.

Remarque 3: toute suite arithmétique est caractérisée par sa raison r et son premier terme.

2°) Suite géométrique 

Soit q un nombre réel donné. On dit qu’une suite $(v_n)$ est une suite géométrique de raison q, lorsqu'on donne son premier terme $v_0$ et chaque terme s’obtient en multipliant le terme précédent par q. Autrement dit : $V_0∈ℝ$ est donné et pour tout entier naturel n :

$v_{n+1}=v_n×q$ 

On peut montrer que $V_n=V_0*q^n$ ou que $V_n=V_p*q^{n-p}$

3°) Quel intérêt ?

1) A partir d'une expression définie par récurrence, on obtient une suite définie en fonction de n ( par exemple on peut calculer diectement $U_{5027}$ sans calculer les termes précédents.

2) Une formule permet de calculer rapidement la somme des termes d'une suite aithmétiques : $S={(premier_terme+dernier)\times nombre \over 2}$

3) Une formule permet de calculer rapidement la somme des termes d'une suite géométriques : $S=(premier_terme)\frac{1-q^{nombre}}{1-q}$

C'est le moment d'utiliser le résultat de la première question ! Connaissant maintenant u_n en fonction de n, il ne nous reste plus qu'à trouver v_n.

Pour tout n,    u_n + v_n = 120 u_n = 50×0,85n +40 et v_n = 80−50×0,85n . Alors :  v_n = 80−50×0,85n

Définir l'évolution (pour u_n, il faut s'aider de w_n, car on sait que u_n peut être définie en fonction de w_n  et on connaît la variation de w_n. De même pour v_n, s'aider en exprimant v_n en fonction de u_n) et la convergence de w_n et de u_n. 

• Pour tout n, w_n = 50×0,85n donc w_n > 0 w_n+1 = 0,85w_n < w_n et donc la suite (w_n) est décroissante. Comme pour tout n, u_n = w_n +40, la suite (u_n) est décroissante.

• (w_n) est géométrique de raison 0,85 ; or −1 < 0,85 < 1 donc la suite (w_n) converge vers 0. Comme pour tout n, u_n = w_n +40, la suite (u_n) converge vers 40.

• Pour tout n, v_n = 120−u_n et la suite (u_n) est décroissante, donc la suite (v_n) est croissante.

• La suite (u_n) est convergente vers 40 et, pour tout n, v_n = 120 − u_n, donc la suite (v_n) est convergente vers 120−40 = 80.

Définir ce qu'est u dans cet algorithme par rapport à nos données et définir ce que représente 120-u. 

Sinon, utiliser un petit tableau (en notant n et u) afin de comprendre l'évolution du système (en testant avec quelques valeurs par exemple).

Dans cet algorithme, la variable u, initialisée à 90, représente le terme u_n , et 120−u représente donc v_n. On sort de la boucle « tant que » dès que u < 120−u c’est-à-dire dès que u_n < v_n ; l’algorithme affiche donc la plus petite valeur n pour laquelle u_n < v_n. C’est la plus petite valeur de n pour laquelle le nombre de ruraux est devenu inférieur au nombre de citadins.

On sait maintenant que l’algorithme affiche donc la plus petite valeur n pour laquelle u_n < v_n. Grace aux données du tableur, on peut trouver à quel moment u_n devient inférieur à v_n, c'est-à-dire pour quel n entier naturel non nul.

D’après le tableur, u₅ > v₅ et u₆ < v₆ donc la valeur affichée sera 6.