Liste Page
Amérique du Sud - 2015 - exercice N°4

Dans un pays de population constante égale à  120 millions, les habitants vivent soit en zone rurale, soit en ville. Les mouvements de population peuvent être modélisés de la façon suivante :


$\bullet~~$en 2010, la population compte $90$ millions de ruraux et $30$ millions de citadins ;
$\bullet~~$chaque année, 10% des ruraux émigrent à la ville ;
$\bullet~~$chaque année, 5% des citadins émigrent en zone rurale.

Pour tout entier naturel $n$, on note :

$\bullet~~$$u_n$ la population en zone rurale, en l'année $2010 + n$, exprimée en millions d'habitants ;
$\bullet~~$$v_n$ la population en ville, en l'année $2010 + n$, exprimée en millions d'habitants.

On a donc $u_0 = 90$ et $v_0 = 30$.


1) Traduire le fait que la population totale est constante par une relation liant $u_n$ et $v_n$.


2) On utilise un tableur pour visualiser l'évolution des suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$.

 

Quelles formules peut-on saisir dans les cellules B3 et C3 qui, recopiées vers le bas,

permettent d'obtenir la feuille de calcul ci-dessous :


3) Quelles conjectures peut-on faire concernant l'évolution à long terme de cette

population ?


4) On admet dans cette partie que, pour tout entier naturel $n,\quad  u_{n+1} = 0,85u_n + 6$.

 a$\bullet~~$Démontrer par récurrence que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.


 b$\bullet~~$On admet que un est positif pour tout entier naturel n.
Que peut-on en déduire quant à la suite (un) ?


 5) On considère la suite $\left(w_n\right)$, définie par : $w_n = u_n - 40$, pour tout $n \geqslant 0$.

a$\bullet~~$Démontrer que $\left(w_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,85$.

      


b$\bullet~~$En déduire l'expression de $w_n$ puis de $u_n$ en fonction de $n$.


c$\bullet~~$Déterminer l'expression de $v_n$ en fonction de $n$.


6) Valider ou invalider les conjectures effectuées à  la question 3).


7) On considère l'algorithme suivant :



a$\bullet~~$Que fait cet algorithme ?


b$\bullet~~$Quelle valeur affiche-t-il ?