Calculer le quotient de deux termes consécutifs $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ .

On a pour tout naturel $n, v_{n+1} = u_{n+1} - \dfrac{b}{1 - a} =au_n + b - \dfrac{b}{1 - a}
=$

$au_n + \dfrac{b(1 - a) - b}{1 - a} = au_n - a\dfrac{b}{1 - a}
= a \left[u_n - \dfrac{b}{1 - a}\right] = av_n$.

L'égalité $v_{n+1} = a v_n$, vraie pour tout naturel $n$ montre que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $a$.

Calculer la limite de $a^{n}$ .

On sait que $v_n = v_0 \times a^n$ ; donc si $a \in ]-1~;~1[$, alors $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} a^n = 0$, donc

$\displaystyle\lim_{n \to + \infty}v_n = 0 \iff \displaystyle\lim_{n \to + \infty}u_n - \dfrac{b}{1 - a}$ soit $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n = \dfrac{b}{1 - a}$.

Calculer la taille de la plante une fois que Max l'a taillé après l'avoir acheté.

Après la taille la plante mesure $80 \times \left(1 - \dfrac{1}{4} \right) = 80 \times \dfrac{3}{4} = 60$(cm).

Au bout de 1an elle a poussé de 30 cm ; elle mesurera donc en mars 2016 avant la tailles $60 + 30 = 90$cm.

D'une année sur l'autre, tailler le quart revient à multiplier par $\dfrac{3}{4} = 0,75$ et la pousse annuelle est de 30cm, donc :

$h_{n+1} = 0,75h_n + 30$.    

• Mars 2015 correspondant à $n = 0$, on a : $h_0 = 80$ ; $h_1 = 90$,

  $h_2 = 0,75 \times 90 + 30 = 67,5 + 30 = 97,5$ : la suite semble être croissante.     

• Initialisation : on sait déjà que $h_0 < h_1$ ;

  Hérédité  : supposons qu'il existe $\mathbb{N}$ tel que $h_p < h_{p+1}$, alors

   

  $0,75h_p < 0,75h_{p+1} \iff 0,75h_p + 30  < 0,75h_{p+1}  + 30 \iff h_{p+1} < h_{p+2}$ : l'hérédité est démontrée, donc la suite $\left(h_n \right)$ est croissante.  

Calculer la limite de la suite $\left(h_n\right)$ .

Si la suite $\left(h_n\right)$ converge vers $\ell$, par continuité l'égalité :

$h_{p+1} = 0,75h_p + 30$ donne en passant aux limites à l'infini :

$\ell = 0,75\ell + 30 \iff 0,25\ell = 30 \iff \ell = 120$.

La plante aura donc une taille inférieure à 120cm.
(À la calculatrice $h_{20} \approx 119,873$cm).

On utilise le résultat de la partie A avec la suite $\left(h_n \right)$ et les coefficients $a = 0,75$ et b = 30.

Comme $- 1 < 0,75 < 1$, la suite $\left(h_n \right)$ converge vers $\dfrac{b}{1 - a} = \dfrac{30}{1 - 0,75} = \dfrac{30}{0,25} = 120$.