Utiliser la colinéarité des vecteurs.

$\vec{MN}\left(- 1~;- \dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{4}\right)$ et $\vec{MP}\left(0~;- 1~;- 2\right)$.

Les vecteurs $\vec{MN}$ et $\vec{MP}$ ne sont pas colinéaires, les droites (MN) et (MP) ne sont pas parallèles donc les points M, N et P ne sont pas alignés.

a)  Exécuter à la main cet algorithme avec les coordonnées des points M, N et P
données ci-dessus. 

Faire un tableau avec des variables.

$- 1 \times  0 + \left(- \dfrac{1}{2} \right) \times (- 1) + \left(\dfrac{1}{4} \right) \times \left(- 2\right) = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} = 0$

Si le produit scalaire de deux vecteurs est égal à 0, les vecteurs sont orthogonaux.

L'algorithme 1 calcule le produit scalaire $\vec{MN} \cdot \vec{MP} = 0$, donc les vecteurs sont orthogonaux donc les droites (MN) et (MP) sont perpendiculaires : le triangle MNP est donc rectangle en M.

Utiliser un "si", "sinon"

Utiliser un point du plan et le vecteur normal.

Si $n$ est un vecteur normal au plan (MNP) une équation de celui-ci est :

$5x - 8y + 4z = d$, avec $d \in \mathbb{R}$ ;

N $\in (\text{MNP}) \iff - 8 \times \dfrac{1}{2}  + 4 \times 1 = d = \iff 0 = d$

Une équation cartésienne du plan (MNP) est donc $5x - 8y + 4z = 0$.

$M(x~;~y~;~z) \in \Delta$

On traduit la relation vectorielle : $M(x~;~y~;~z) \in \Delta \iff \vec{\text{F}M} = t \vec{n}, t \in \mathbb{R}$ soit

K $\in$ au plan et à l'équation paramétrique $\Delta$.

Les coordonnées de K vérifient l'équation du plan et l'équation paramétrique de $\Delta$, soit :

D'où $x = 1 + 5 \times \left(- \dfrac{3}{35} \right) = 1 - \dfrac{3}{7} = \dfrac{4}{7}$ ;

$y = - 8\times \left(- \dfrac{3}{35} \right) = \dfrac{24}{35}$ ;

$z = 1 + 4\times \left(- \dfrac{3}{35} \right) = 1  - \dfrac{12}{35} = \dfrac{23}{35}$.

Donc F$\left(\dfrac{4}{7}~;~\dfrac{24}{35}~;~\dfrac{23}{35} \right)$.

On donne FK $= \sqrt{\dfrac{27}{35}}$.

(FK) est orthogonal au plan MNP.

Puisque (FK) est orthogonale au plan MNP, [FK] est hauteur du tétraèdre MNPF, donc

$V_{\text{MNPF}} = \dfrac{1}{3} \times \mathcal{A}(\text{MNP} \times \text{FK})$.

Or MNP est rectangle en M, donc $\mathcal{A}(\text{MNP} = \dfrac{\text{MN}\times \text{MP}}{2}$.