Dans les questions 1 et 2, on munit l'espace d'un repère orthonormé, et on considère les plans
$\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ d' équations respectives$ x+ y + z - 5 = 0$ et $7x - 2y + z - 2 = 0$.
Affirmation 1 : les plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ sont perpendiculaires.
Pour que deux plans soient perpendiculaires, il faut que leurs vecteurs normaux soient orthogonaux, car les vecteurs normaux sont orthogaux à leur plan.
Le plan $\mathcal P_1$ a pour vecteur normal $\vec{n_1}\;:\;(1\,;\, 1\,;\, 1)$ et le plan $\mathcal P_2$ a pour vecteur normal $\vec{n_2}\;:\;(7\,;\, -2\,;\, 1)$.
$\vec{n_1}.\vec{n_2} = 7 - 2 + 1 =6 \neq 0$ donc ces deux vecteurs ne sont pas orthogonaux et donc les plans $\mathcal P_1$ et $\mathcal P_2$ ne sont pas perpendiculaires.
Affirmation 1: FAUSSE
Utiliser les vecteurs
1) Lorsque deux vecteurs sont égaux :
Cela permet de montrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme !
Ensuite on peut voir si c'est un rectangle (diagonales de même longueur), losange (cotés consécutifs égaux, ... ) ou un carré.
2) Lorsque deux vecteurs sont colinéaires :
On cherche un coefficient $k$ tel que $\vec{u}=k\vec{v}$
Cela peut permettre de :
- Montrer que deux droites sont parallèles (avec les vecteurs directeurs) .
- Montrer que deux plans sont paralléles (avec les vecteurs normaux).
- Montrer que deux plans sont paralléles (deux vecteurs directeurs de l'un colinéaires à deux vecteurs de l'autre).
- Montrer que trois points définissent un plan ($\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ non colinéaire ).
3) Lorsque deux vecteurs sont orthogonaux :
On calcul $\vec{u}.\vec{v}=xx'+yy'+zz'$.
Si $\vec{u}.\vec{v}=0$ alors $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux.
Cela peut permettre de :
- Montrer que deux droites sont orthogonaux (avec les vecteurs directeurs) .
- Montrer que deux plans sont orthogonaux (avec les vecteurs normaux).
- Montrer qu'un parallélogramme est un rectangle (1 angle droit), un losange (diagonales perpendiculaires), un carré.
- Montrer qu'un triangle est rectangle.
- M est sur la sphère de diamêtre $[AB]$ si et seulement si $\vec{AM}.\vec{BM}=0$
Etudier la position relative de plans et de droites
I) Position relative de 2 plans :
1 - On regarde si les plans sont parallèles :
On regarde si un vecteur normal à un des plans est aussi normal à l'autre plan. Dans ce cas, $\vec{n_1}=k\vec{n_2}$. Avec $\vec{n_1}$ vecteur normal à l'un des plans et $\vec{n_2}$ vecteur normal à l'autre plan.
Si, dans l'égalité, on obtient un seul $k$ pour lequel:
xn1 = k xn2
yn1 = k yn2
zn1 = k zn2 ,alors les deux plans sont parallèles.
Si elle ne l'est pas, alors les plans sont sécants.
2 - On regarde si les plans sont orthogonaux :
On regarde si le vecter directeur à un plan est orthogonal au vecteur 
directeur du deuxième. Pour ce faire, on fait un produit scalaire :
Si $\vec{n_1}.\vec{n_2}=0$, alors les deux plans sont orthogonaux.
Dans le cas contraire, ils sont seulement sécants.
II) Position relative de 2 droites :
1 - On regarde si les droites sont parallèles :
On regarde si un vecteur directeur à une des droites est colinéaire à celui de l'autre droite.
Dans ce cas les droites sont parallèles (éventuellement sécantes )
2 - Si les droites ne sont pas parallèles :
On regarde si elles sont sécantes ou non coplannaires :
Avec les équations paramétriques, on cherche un point comun : Existe-t-il un paramêtre $k$ de la première équation et un paramêtre $k'$ de la seconde qui permet d'obtenir les même valeurs de x, y et z.
De plus si $\vec{n_1}.\vec{n_2}=0$, alors les deux droites sont orthogonales.
III) Position relative d'une droite et d'un plan :
1 - On choisit un vecteur directeur de la droite et un vecteur normal du plan :
S'ils sont colinéaires, le plan et la droite sont orthogonaux.
S'ils sont othogonaux, le plan et la droite sont parallèles.
2 - On cherche les points communs au plan et à la droite:
Il suffit de chercher s'il existe un paramêtre $k$ solutions des équations.
Si ce paramêtre est unique, il y à un point d'intersection.
Si toutes les valeurs sont solutions, la droite est incluse dans le plan .
Si il n'y a pas de solution, le plan et la droite sont strictement parallées.
Affirmation 2 : les plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ se coupent suivant la droite de représentation paramétrique:\(\left\{ \begin{array}{rcr} x & = & t \\ y & = & 2t +1 \\ z & = & -3t+4 \\ \end{array} \right.\)
Penser au fait que, pour prouver que deux plans se coupent suivant une droite; il faut prouver que cette droite possède au moins deux points qui appartiennent aussi aux deux plans.
Pour trouver des coordonées des points appartenant à une droite, il suffit de remplacer t dans l'équation paramétrique de la droite.
Pour prouver qu'un point appartient à un plan, il faut le vérifier avec les coordonées du point et l'équation du plan.
On a vu dans la question précédente que les plans $\mathcal P_1$ et $\mathcal P_2$ avaient respectivement pour vecteurs normaux $\vec{n_1}\;:\;(1\,;\, 1\,;\, 1)$ et $\vec{n_2}\;:\;(7\,;\, -2\,;\, 1)$; ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires, donc les plans ne sont pas parallèles. Les plans $\mathcal P_1$ et $\mathcal P_2$ sont donc sécants.
Soit $d$ la droite de représentation paramétrique : \(\left\{ \begin{array}{rcr} x & = & t \\ y & = & 2t +1 \\ z & = & -3t+4 \\ \end{array} \right.\) , t $\in \mathbb{R}$
Pour voir si cette droite est l'intersection des plans $\mathcal P_1$ et $\mathcal P_2$, il suffit de déterminer deux points de cette droite et de vérifier s'ils appartiennent aux deux plans.
On cherche deux points appartenant à la droite $d$ et on regarde s'ils appartiennent aux deux plans.
- En remplaçant $t$ par $0$ dans la représentation paramétrique de la droite $d$, on obtient le point $A\;(0\,;\,1\,;\, 4)$. Or $x_A+y_A+z_A-5 = 0+1+4-5=0$ donc $A\in \mathcal P_1$, et $7x_A-2y_A+z_A-2 = 0-2+4-2=0$ donc $A\in \mathcal P_2$. On peut dire que $A \in \mathcal P_1 \cap \mathcal P_2$.
- En remplaçant $t$ par $1$ dans la représentation paramétrique de la droite $d$, on obtient le point $B\;(1\,;\,3\,;\, 1)$. Or $x_B+y_B+z_B-5 = 1+3+1-5=0$ donc $B\in \mathcal P_1$, et $7x_B-2y_B+z_B-2 = 7-6+1-2=0$ donc $B\in \mathcal P_2$. On peut dire que $B \in \mathcal P_1 \cap \mathcal P_2$.
L'intersection des deux plans $\mathcal P_1$ et $\mathcal P_2$ est la droite $(AB)$ de représentation paramétrique : \(\left\{ \begin{array}{rcr} x & = & t \\ y & = & 2t +1 \\ z & = & -3t+4 \\ \end{array} \right.\) , t $\in \mathbb{R}$
Affirmation 2: VRAIE
Utiliser les vecteurs
1) Lorsque deux vecteurs sont égaux :
Cela permet de montrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme !
Ensuite on peut voir si c'est un rectangle (diagonales de même longueur), losange (cotés consécutifs égaux, ... ) ou un carré.
2) Lorsque deux vecteurs sont colinéaires :
On cherche un coefficient $k$ tel que $\vec{u}=k\vec{v}$
Cela peut permettre de :
- Montrer que deux droites sont parallèles (avec les vecteurs directeurs) .
- Montrer que deux plans sont paralléles (avec les vecteurs normaux).
- Montrer que deux plans sont paralléles (deux vecteurs directeurs de l'un colinéaires à deux vecteurs de l'autre).
- Montrer que trois points définissent un plan ($\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ non colinéaire ).
3) Lorsque deux vecteurs sont orthogonaux :
On calcul $\vec{u}.\vec{v}=xx'+yy'+zz'$.
Si $\vec{u}.\vec{v}=0$ alors $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux.
Cela peut permettre de :
- Montrer que deux droites sont orthogonaux (avec les vecteurs directeurs) .
- Montrer que deux plans sont orthogonaux (avec les vecteurs normaux).
- Montrer qu'un parallélogramme est un rectangle (1 angle droit), un losange (diagonales perpendiculaires), un carré.
- Montrer qu'un triangle est rectangle.
- M est sur la sphère de diamêtre $[AB]$ si et seulement si $\vec{AM}.\vec{BM}=0$
Calculer l'équation d'une droite
Définition
Une équation de droite dans l'espace peut s'écrire de deux façons :
-équation paramétrique de droite
-équation cartésienne de droite
On utilisera plus souvent l'équation paramétrique. Alors :
soit A un point dans l'espace de coordonnées ($x_{0} ; y_{0} ; z_{0}$), et $\vec{u} $ un vecteur non nul de coordonnées (a ; b ; c). Si d est la droite passant par A et $\vec{u}$, alors son équation paramétrique est
$\begin{cases} x = x_{0} + at\\ y = y_{0} + bt\\ z = z_{0} + ct avec t\in\mathbb{R} \end{cases}$
Remarque :
$t\in\mathbb{R}$ signifie qu'à chaque t correspond un point de la droite. Si on $t\in [-1;1]$ alors on à un segment. C'est donc un élément essentiel de l'équation.
Exemple :
Si une droite d passe par le point A de coordonnées (5 ; 2 ; 1) et par $\vec{u}$(2 ; 6 ; 10), alors son équation paramétrique est :
$\begin{cases} x = 5 + 2t\\ y = 2 + 6t\\ z = 1 + 10t avec t\in\mathbb{R} \end{cases}$
Complément :
Une équation cartésienne est de la forme
$\begin{cases} ax + by + cz + d =0\\ a'x + b'x + c'x + d'=0 \end{cases}$
Cela correspond à l'intersection de deux plans.
Comme une droite peut être à l'intersection de beaucoup de plans différents, il existe une infinité d'équation cartésienne trés différentes pour une même droite.
Astuce :
Pour savoir si deux équations corespondent à la même droite, il suffit de choisir au hasard deux points de l'une et tester s'ils sont sur l'autre !
Un joueur de jeux vidéo en ligne adopte toujours la même stratégie. Sur les 312 premières parties jouées, il en gagne 223. On assimile les parties jouées à un échantillon aléatoire de taille 312 dans l’ensemble des parties.
On souhaite estimer la proportion de parties que va gagner le joueur, sur les prochaines parties qu’il jouera, tout en conservant la même stratégie.
Affirmation 3 : au niveau de confiance de 95%, la proportion de parties gagnées doit appartenir à l’intervalle [0,658 ; 0,771].
On a un échantillon de taille n=312 et il faut trouver la fréquence qui repésente le nombre de parties gagnés soit $f=\frac{223}{312}$
Penser au fait que pour pouvoir utliser un intervale de confiance, il faut d'abord prouver que n >30, nf >5 et n(1-f) >5 !
Il faut ensuite calculer un intervale de confiance au niveau de confiance 0,95 soit :
$I= [ f-\frac{1}{\sqrt{n}}; f+\frac{1}{\sqrt{n}}]$
Au niveau de confiance de 95%, la proportion de parties gagnées doit appartenir à l'intervalle [0,658 ; 0,771]. Le joueur gagne avec une fréquence de $f=\frac{223}{312}\approx {0,7147}$.
L'échantillon est de taille $n=312>30$; $n\times f = 223 >5$ et $n\times (1-f)= 89 >5$. Donc on peut déterminer l'intervalle de confiance au seuil 95% :
$I= [ f-\frac{1}{\sqrt{n}}; f+\frac{1}{\sqrt{n}}]$
$=[ \frac{223}{312} - \frac{1}{\sqrt{312}};\frac{223}{312} + \frac{1}{\sqrt{312}}]$
$\approx [0,658; 0,771]$
Affirmation 3: VRAIE
Utiliser un intervalle de confiance
On considère l’algorithme suivant :
Affirmation 4 : si l'on entre $a = 1,\: b = 2$ et $f(x) = x^2 - 3$, alors l'algorithme affiche en sortie le nombre 1,6875.
Penser à faire tourner l'algorithme à la main dans un tableau en écrivant chaque variables en fonction de chaque étape.
A la calculatrice :
- pour demander les valeurs de a, b et f, il faut écrire: ?→a
- pour les "tant que" il faut aller dans "PGRM" puis "COM"et trouver "WHILE"
- ATTENTION il faut penser à écrire "WHILE END"
Affirmation 4 : si l'on entre $a = 1,\: b = 2$ et $f(x) = x^2 - 3$, alors l'algorithme affiche en sortie le nombre 1,6875.
On fait tourner l'algorithme avec les valeurs de $a$, de $b$ et l'expression de $f$ données dans le texte,
et on va décrire ce qui se passe à chaque étape en affichant l'état des variables $a$, $b$ et $x$:.PNG)
Affirmation 4: FAUSSE
Il s'agit de l'algorithme de recherche par dichotomie de la solution positive de l'équation $x^2-3=0$.