On sait que le coefficient directeur de la tangente en un point est égal au nombre dérivé de la fonction en ce point. Il faut donc que f ′ (1) = 0.

On sait que le coefficient directeur de la tangente en un point est égal au nombre 
dérivé de la fonction en ce point. Il faut donc que f'(1) = 0.

Or f est dérivable sur [1;8] et sur cet intervalle :

f'(x) = ae-x + (ax + b)x (- 1)e-x = e-x(a - ax - b).

Donc f'(1) = 0 ⇐⇒ e-1(a - a - b) = 1- ⇐⇒ b e-1 = 0 ⇐⇒ b = 0, car e-1 ≠ 0.

Determiner l'équation d'une tangente

• Définition :

Une tangente est la droite qui effleure la courbe représentative d’une fonction en un point. C'est une approximaion linéaire. L'équation réduite d'une tangente est celle d'une fonction affine bien qu'à certains endroits il puisse se trouver une tangente horizontale ou verticale.

On l'obtient avec la formule : \(y = f’(a)(x – a) + f(a)\)où f'(a) est le nombre dérivé de a et le coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse a, soit la pente de la droite. 

• Remarques : Là où la dérivée est nulle, la tangente est horizontale puisqu'elle a un coefficient directeur nul.

• Déterminer l'équation d'une tangente par lecture graphique :

Afin de déterminer le coefficient directeur de cette tangente graphiquement, il nous faut calculer la pente de AB notée P(AB).

P(AB) = $ { y(A) - y(B) \over x(A) - x(B)}$

Donc ici le coefficient directeur de la tangente est environ 1.55

​

Le haut de la courbe est obtenu pour x = 1.

Le haut de la courbe est obtenu pour x = 1. Or : 3,5 < f (1) < 4 ⇐⇒ 3,5 < ae −1 < 4 ⇐⇒ 3,5e < a < 4e. Or 3,5e ≈ 9,5 et 4e ≈ 10,9 : le seul entier compris entre ces deux valeurs est a = 10.

On a donc sur [1 ; 8], f (x) = 10xe −x . 

Trouver les solutions d'une équation

Trouver les solutions d'équations / d'inéquations.

 - La fonction exponentielle est strictement croissante sur R donc :

−> \(e^a\) = \(e^b\)   ⟺   a = b 

−> \(e^a\)  < \(e^b\)   ⟺   a < b

Exemple 1:

Résoudre dans R :
 3 \(e^x \) - 1 = 0

 3 \(e^x\) =1
\(e^x\) = \( {1 \over 3}\)
 ln (\(e^x\)) = ln (\( {1 \over 3}\))        On utilise la fonction logarithme qui annule la fonction exponentielle, afin d'isoler x.
 x = ln (1) - ln (3)
 x = - ln (3)

S = {- ln (3)}

Exemple 2:

g' (x) = f (x).

En dérivant g comme un produit, on a pour tout réel de [1 ; 8] :

g ′ (x) = 10×(−1)e^−x +10(−x−1)×(−1)e^−x = −10e^−x (1−x−1) = 10xe^−x = f (x).

g est donc une primitive de f sur [1 ; 8].

Etudier les variations

Rappel :

La fonction exponentielle est strictement croissante sur R.

Stratégie :

-Calculer la dérivé de la fonction 
On sait que : 

-Chercher le signe de la dérivé
                -Penser à factoriser (cf exemple2)
                   -Penser à faire un tableau de signe 
-Dresser le tableau de variation 

Remarque :

\(e^x\) est toujours positif.

Exemples : 

1) Si \(f(x)=(x+1)e^x\)
                  =\(u \times v\)

On calcul la dérivé : 
D'où f '(x)= \(u' \times v+u \times v'\)
                =\(e^x(x+2)\)

On cherche le signe de la dérivé : 
On sait que \(e^x\) est strictement positive sur R.
De plus, il faut résoudre l'inéquation : 
x+2>0
x>-2

On peut alors dresser le tableau de variation :                               
 

  On cherche \(f(-2)=(-2+1)e^-2=-e^-2\)=\(\frac{-1}{e^-2}\)
 
2) Si \(f(x)=x \times e^{2x-1}\)

\(f'(x)=e^{2x-1}+x \times 2e^{x-1}\)

Il faut penser à factoriser :
\(f'(x)=(1+2x)e^{2x-1}\)
-Puis dresser le tableau de variation

3) Si \(f(x) = e^{2x-x}\)

 \(f'(x)= 2e^{2x}-1\)

Pour chercher le signe de la dérivé, il faut penser à resoudre l'inéquation : 
\(2e^{2x}-1 > 0 \)
\(2e^x>1\)
 \(e^x > 0,5\)
 \(ln(e^x)>ln(0,5)\)
\(x>ln(0,5)\)

-Puis dresser le tableau de variation


 

Comme x > 0 et e^−x > 0, on a f (x) > 0 sur [1 ; 8].

Donc l’aire de la surface hachurée est égale en unités d’aire ( soit 1×1 = 1 m² ) à l’intégrale ...

Comme x > 0 et e^−x > 0, on a f (x) > 0 sur [1 ; 8].

Donc l’aire de la surface hachurée est égale en unités d’aire ( soit 1×1 = 1 m² ) à l’intégrale :

$ \int_1^8 f(x) dx $ =$ [g (x)]_1^8$ = g (8) − g (1) = 10(−8 − 1)e⁻⁸ − 10(−1 − 1)e⁻¹ = 20e⁻¹ − 90e⁻⁸ .

D’après les conditions du peintre son devis sera donc d’un montant de : D = 300+50 (20e⁻¹ −90e⁻⁸) ≈ 666,37 euros. 

Utiliser les propriétés

Utiliser les propriétés des fonctions des fonctions exponentielles

I/ Définition :

Il existe une unique fonction f définie et dérivable sur R telle que f ' = f et f(0)=1

Par définition : $ {e}^{0} $ =1  ;  $ {e}^{1} $ = e

- Fonction dérivée : ( $ {e}^{x} $ )' = $ {e}^{x} $

                                ( $ {e}^{u} $ )' = u' $ {e}^{u} $ $ \iff $ $ {e}^{u} $ et u ont le même sens de variation

- Signe : $ {e}^{x} $ > 0*

II/ Propriétés de calculs et utilisation :

Formules utilisées pour simplifier des calculs : 

• $ {e}^{a+b} $ = $ {e}^{a} $ x $ {e}^{b} $ 
• $ {e}^{na}  =  ({e}^{a} )^n$
• $ {e}^{1/2a} $ = $ \sqrt({e}^{a}) $
• $ {e}^{-a} $ = $ {1} \over {e}^{a} $
• $ {e}^{a-b} $ = $ {e}^{a} \over {e}^{b} $

N.B : Ce sont les même règles que pour les calculs de puissances

 Formules utilisées pour la résolution d'équation : 

• $ {e}^{a} $ = $ {e}^{b} $ $ \iff $ a = b  
• $ {e}^{a} $ < $ {e}^{b} $ $ \iff $ a < b

Calculer f''

La fonction f ′ est dérivable sur [1 ; 8] et sur cet intervalle [1 ; 8] : f ′′(x) = 10×(−1)e^−x +10(1−x)×(−1)10e^−x = 10e^−x (−1−1+x = 10(x −2)e^−x .

Comme e^−x > 0 quel que soit le réel x, le signe de f ′′(x) est celui de x −2.

• Si 1 6 x < 2, x −2 < 0 : la fonction f ′ est donc décroissante sur [1 ; 2[

• Si 2 < x 6 8, x −2 > 0 : la fonction f ′ est donc croissante sur ]2 ; 8[

• Si x = 2, f ′ (2) = −10e⁻² ≈ −1,35 est donc le minimum de la fonction f ′ sur [1 ; 8].

Etudier les variations

Rappel :

La fonction exponentielle est strictement croissante sur R.

Stratégie :

-Calculer la dérivé de la fonction 
On sait que : 

-Chercher le signe de la dérivé
                -Penser à factoriser (cf exemple2)
                   -Penser à faire un tableau de signe 
-Dresser le tableau de variation 

Remarque :

\(e^x\) est toujours positif.

Exemples : 

1) Si \(f(x)=(x+1)e^x\)
                  =\(u \times v\)

On calcul la dérivé : 
D'où f '(x)= \(u' \times v+u \times v'\)
                =\(e^x(x+2)\)

On cherche le signe de la dérivé : 
On sait que \(e^x\) est strictement positive sur R.
De plus, il faut résoudre l'inéquation : 
x+2>0
x>-2

On peut alors dresser le tableau de variation :                               
 

  On cherche \(f(-2)=(-2+1)e^-2=-e^-2\)=\(\frac{-1}{e^-2}\)
 
2) Si \(f(x)=x \times e^{2x-1}\)

\(f'(x)=e^{2x-1}+x \times 2e^{x-1}\)

Il faut penser à factoriser :
\(f'(x)=(1+2x)e^{2x-1}\)
-Puis dresser le tableau de variation

3) Si \(f(x) = e^{2x-x}\)

 \(f'(x)= 2e^{2x}-1\)

Pour chercher le signe de la dérivé, il faut penser à resoudre l'inéquation : 
\(2e^{2x}-1 > 0 \)
\(2e^x>1\)
 \(e^x > 0,5\)
 \(ln(e^x)>ln(0,5)\)
\(x>ln(0,5)\)

-Puis dresser le tableau de variation


 

Une équation de la tangente (T_M ) au point M(x ; y) est :

P(X ; Y ) ∈ (T_M ) ⇐⇒ Y − f (x) = f ′ (x)(X − x).

Le point L est le point de cette droite d’ordonnée nulle donc son abscisse X

vérifie : −f (x) = f ′ (x)(X − x) ⇐⇒ X − x = ${−f (x)}\over {f ′ (x)}$ ⇐⇒  X = x - ${f (x)}\over {f ′ (x)} $.

Dans le triangle MLP, on tan α = ${(PM)}\over{(PL)}$ = ${(f (x))}\over{(x − (f (x))/((f ′ (x)) − x )}$ =

${(f (x))/(− f (x))/(f ′ (x))}$ = |− f ′ (x)| = |f ′ (x)|. 

Determiner l'équation d'une tangente

• Définition :

Une tangente est la droite qui effleure la courbe représentative d’une fonction en un point. C'est une approximaion linéaire. L'équation réduite d'une tangente est celle d'une fonction affine bien qu'à certains endroits il puisse se trouver une tangente horizontale ou verticale.

On l'obtient avec la formule : \(y = f’(a)(x – a) + f(a)\)où f'(a) est le nombre dérivé de a et le coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse a, soit la pente de la droite. 

• Remarques : Là où la dérivée est nulle, la tangente est horizontale puisqu'elle a un coefficient directeur nul.

• Déterminer l'équation d'une tangente par lecture graphique :

Afin de déterminer le coefficient directeur de cette tangente graphiquement, il nous faut calculer la pente de AB notée P(AB).

P(AB) = $ { y(A) - y(B) \over x(A) - x(B)}$

Donc ici le coefficient directeur de la tangente est environ 1.55

​

Les contraintes imposent que l'angle α soit inférieure à 55°.

Donc le toboggan est conforme si le maximum de la fonction |f ' (x)| est inférieure à tan 55°.

On a vu dans l’étude de la fonction f ′ que celle-ci décroit de

f ′ (1) = 10(1 − 1)e⁻¹ = 0 à −1,35 puis croissante de f ′ (2) à f ′ (8) = 10(1 − 8)e⁻⁸ = −70e⁻⁸ ≈ −0,023.

Le maximum de la fonction |f ′ (x)| est donc 1,35 ≈ tan 53,47 °.

Cette valeur est bien inférieure à la valeur 55 °. Le toboggan est conforme.