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Polynésie - juin - 2015 - exercice N°4

Le directeur d'un zoo souhaite faire construire un toboggan pour les pandas. Il réalise le

schéma suivant de ce toboggan en perspective cavalière.

Voici ce schéma :

                   


                                                                        {Partie A : Modélisation}

Le profil de ce toboggan est modélisé par la courbe $\mathcal{C}$ représentant la fonction $f$ définie sur l'intervalle [1;8] par

\[f(x) = (ax + b)\text{e}^{- x}\quad  \text{où }\: a\:\: \text{et}\: b\: \text{ sont deux entiers naturels.}\]

La courbe $\mathcal{C}$ est traçée ci-dessous dans un repère orthonormé dont l'unité est le mètre.

                    

1) On souhaite que la tangente à  la courbe $\mathcal{C}$ en son point d'abscisse 1 soit horizontale.

     Déterminer la valeur de l'entier $b$.


2) On souhaite que le haut du toboggan soit situé entre $3,5$ et $4$ mètres de haut.

     Déterminer la valeur de l'entier $a$.


                                                        {Partie B : Un aménagement pour les visiteurs}

On admet dans la suite que la fonction $f$ introduite dans la partie A est définie pour tout réel

$x \in  [1;8]$ par \[f(x) = 10x \text{e}^{- x}.\]

Le mur de soutènement du toboggan sera peint par un artiste sur une seule face, hachurée

sur le schéma en début d'exercice. Sur le devis qu'il propose, celui-ci demande un forfait de

300 euros augmenté de 50 euros par mètre carré peint.

1) Soit $g$ la fonction définie sur [1;8] par \[g(x) = 10(- x - 1)\text{e}^{-x}.\]

     Déterminer la fonction dérivée de la fonction $g$.


2) Quel est le montant du devis de l'artiste ?


                                                                {Partie C : Une contrainte à  vérifier}

Des raisons de sécurité imposent de limiter la pente maximale du toboggan.

On considère un point $M$ de la courbe $\mathcal{C}$, d'abscisse différente de 1. On appelle $\alpha$ l'angle aigu formé par la tangente en $M$ à $\mathcal{C}$ et l'axe des abscisses.

La figure suivante illustre la situation.

                    


Les contraintes imposent que l'angle $\alpha$ soit inférieur à  55 degrés.

1) On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle [1;8].

On admet que, pour tout $x$ de l'intervalle [1;8], $f'(x) = 10(1- x)\text{e}^{-x}$.

Etudier les variations de la fonction $f'$ sur l'intervalle [1;8].


2) Soit $x$ un réel de l'intervalle ]1;8] et soit $M$ le point d'abscisse $x$ de la courbe $\mathcal{C}$.

     Justifier que $\tan \alpha = \left|f'(x)\right|$.


3) Le toboggan est-il conforme aux contraintes imposées ?