Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse.
Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. L'absence de réponse n'est pas pénalisée. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte. L'espace est muni d'un repère orthonormé O$(\vec{i};\vec{j};\vec{k})$. Les points A, B, C sont définis par leurs coordonnées :
\[\text{A}(3~;~-1~;~4),\quad \text{B}(-1~;~2~;~-3),\quad \text{C}(4~;~-1~;~2).\]
Le plan $\mathcal{P}$ a pour équation cartésienne : $2x - 3y + 2z - 7 = 0$.
La droite $\Delta$ a pour représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l c l}
x &=& - 1 + 4t\\
y &=&\phantom{-} 4 - t\\
z &=& - 8 + 2t
\end{array}\right., \:t \in \mathbb{R}$.
Affirmation 1 : Les droites $\Delta$ et (AC) sont orthogonales.
On peut le savoir avec le produit scalaire de deux vecteurs.
En détaillant son écriture paramétrique, on peut dire que la droite $\Delta$ a pour vecteur directeur $\vec{v}\,(4\,;\,-1\,;\,2)$.
La droite (AC) a pour vecteur directeur $\vec{AC}\,(1\,;\,0\,;\,-2)$.
$\vec{v}.\vec{\text A \text C} = 4\times 1 + (-1)\times 0 + 2\times (-2)=0$ donc les vecteurs $\vec{v}$ et $\vec{\text A \text C}$ sont orthogonaux; on peut en déduire que les droites $\Delta$ et (AC) sont orthogonales.
Affirmation 1 vraie
Utiliser les vecteurs
1) Lorsque deux vecteurs sont égaux :
Cela permet de montrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme !
Ensuite on peut voir si c'est un rectangle (diagonales de même longueur), losange (cotés consécutifs égaux, ... ) ou un carré.
2) Lorsque deux vecteurs sont colinéaires :
On cherche un coefficient $k$ tel que $\vec{u}=k\vec{v}$
Cela peut permettre de :
- Montrer que deux droites sont parallèles (avec les vecteurs directeurs) .
- Montrer que deux plans sont paralléles (avec les vecteurs normaux).
- Montrer que deux plans sont paralléles (deux vecteurs directeurs de l'un colinéaires à deux vecteurs de l'autre).
- Montrer que trois points définissent un plan ($\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ non colinéaire ).
3) Lorsque deux vecteurs sont orthogonaux :
On calcul $\vec{u}.\vec{v}=xx'+yy'+zz'$.
Si $\vec{u}.\vec{v}=0$ alors $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux.
Cela peut permettre de :
- Montrer que deux droites sont orthogonaux (avec les vecteurs directeurs) .
- Montrer que deux plans sont orthogonaux (avec les vecteurs normaux).
- Montrer qu'un parallélogramme est un rectangle (1 angle droit), un losange (diagonales perpendiculaires), un carré.
- Montrer qu'un triangle est rectangle.
- M est sur la sphère de diamêtre $[AB]$ si et seulement si $\vec{AM}.\vec{BM}=0$
Calculer l'équation d'une droite
Définition
Une équation de droite dans l'espace peut s'écrire de deux façons :
-équation paramétrique de droite
-équation cartésienne de droite
On utilisera plus souvent l'équation paramétrique. Alors :
soit A un point dans l'espace de coordonnées ($x_{0} ; y_{0} ; z_{0}$), et $\vec{u} $ un vecteur non nul de coordonnées (a ; b ; c). Si d est la droite passant par A et $\vec{u}$, alors son équation paramétrique est
$\begin{cases} x = x_{0} + at\\ y = y_{0} + bt\\ z = z_{0} + ct avec t\in\mathbb{R} \end{cases}$
Remarque :
$t\in\mathbb{R}$ signifie qu'à chaque t correspond un point de la droite. Si on $t\in [-1;1]$ alors on à un segment. C'est donc un élément essentiel de l'équation.
Exemple :
Si une droite d passe par le point A de coordonnées (5 ; 2 ; 1) et par $\vec{u}$(2 ; 6 ; 10), alors son équation paramétrique est :
$\begin{cases} x = 5 + 2t\\ y = 2 + 6t\\ z = 1 + 10t avec t\in\mathbb{R} \end{cases}$
Complément :
Une équation cartésienne est de la forme
$\begin{cases} ax + by + cz + d =0\\ a'x + b'x + c'x + d'=0 \end{cases}$
Cela correspond à l'intersection de deux plans.
Comme une droite peut être à l'intersection de beaucoup de plans différents, il existe une infinité d'équation cartésienne trés différentes pour une même droite.
Astuce :
Pour savoir si deux équations corespondent à la même droite, il suffit de choisir au hasard deux points de l'une et tester s'ils sont sur l'autre !
Affirmation 2 : Les points A, B et C déterminent un plan et ce plan a pour équation cartésienne $2x + 5y + z - 5 = 0$.
A, B et C déterminent un plan si et seulement s'ils ne sont pas alignés. L'équation de ce plan est vérifiée par les coordonnées de n'importe quel point du plan.
Les points A, B et C déterminent un plan si et seulement s'ils ne sont pas alignés.
$\vec{\text A \text B}$ a pour coordonnées $(-4\,;\, 3\,;\, -7)$ et $\vec{\text A \text C}$ a pour coordonnées $(1\,;\,0\,;\,-2)$.
Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires donc les points A, B et C ne sont pas alignes; ils déterminent donc le plan (ABC).
Le plan (ABC) a pour équation $2x+5y+z-5=0$ si les coordonnées des trois points A, B et C vérifient cette équation.
$2x_{A}+5y_{A}+z_{A} - 5= 2\times 3 +5\times (-1) + 4 - 5 = 0$
$2x_{B}+5y_{B}+z_{B} - 5= 2\times (-1) +5\times 2 + (-3) - 5 = 0$
$2x_{C}+5y_{C}+z_{C} - 5= 2\times 4 +5\times (-1) + 2 - 5 = 0$
Les coordonnées des trois points vérifient l'équation du plan donc ces points appartiennent au plan.
Le plan (ABC) a pour équation $2x+5y+z-5=0$.
Affirmation 2 vraie
Calculer l'équation d'un plan
- Définir un plan
Avant de calculer l'équation d'un plan, il faut le définir. Pour cela, on doit, à partir de trois points A,B,C du plan, montrer que les vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\) sont non colinéaires.
- Equation paramétrique de plan
Démonstration :
Soit les points A(xo;yo;zo) et M(x;y;z) et les vecteurs \(\vec{AB}\) (a;b;c) et \(\vec{AC}\) (a';b';c')
Si M est sur le plan $(A;\vec{AB};\vec{AC})$ alors le vecteur $\vec{MA}$ peut s'exprimer en fonction de $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$
\(\vec{MA}\) $= (x_M - x_A; y_M - y_A ; z_M - z_A) = (x - x_o ; y - y_o ; z - z_o)$
x (\(\vec{MA}\) ) = ka + k'a' donc x - xo = ka + k'a' et x = ka + k'a' + xo
De même pour y et z
Formules :
Si on connait deux vecteurs non colinéaires d'un plan \(\vec{u}\)(a;b;c) et \(\vec{v}\) (a';b';c') et le point $A (x_o;y_o;y_o)$ apartenant au plan, alors une équation paramétrique de ce plan est :
$\begin{cases} x = ka + k'a' + xo\\ y = kb + k'b' + yo\\ z = kc + k'c' + zo \end{cases}$
avec k et k' des réels.
Exemple :
Soit A (-1;2;3), \(\vec{u}\)(4;-5;7) et \(\vec{v}\) (2;-1;8)
Une équation paramétrique de ce plan est :
$\begin{cases} x=4k+2k'-1\\y=-5k-k'+2\\z=7k+8k'+3 \end{cases}$
avec k et k' des réels
- Equation cartésienne de plan
Soit \(\vec{n}\) (a;b;c) un vecteur normal au plan (ABC) et d réel
Alors une équation cartésienne du plan (ABC) est ax + by + cz + d = 0
Exemple :
On connait le vecteur \(\vec{n}\) (1;7;5) normal au plan (BCD) et B (2;5;2)
Une équation cartésienne de (BCD) est x + 7y + 5z + d = 0
On cherche d : il faut remplacer les coordonnées d'un point appartenant au plan (ici le point B) dans l'équation:
2 + 7*5 + 5*2 + d = 0 donc 47 + d = 0 et d = -47
On obtient alors l'équation cartésienne du plan (BCD) : x + 7y + 5z -47 = 0
Remarques :
En éliminant les paramêtre $k$ et $k'$ on peut transformer un équation paramétrique en équation cartésienne.
Le contraire est possible en posant $x=k$ et $y=k'$ par exemple.
Astuce :
Pour savoir si deux équations correspondent au même plan, choisir trois points au hasard de la première et voir si les coordonnées vérifient la seconde.
Utiliser les vecteurs
1) Lorsque deux vecteurs sont égaux :
Cela permet de montrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme !
Ensuite on peut voir si c'est un rectangle (diagonales de même longueur), losange (cotés consécutifs égaux, ... ) ou un carré.
2) Lorsque deux vecteurs sont colinéaires :
On cherche un coefficient $k$ tel que $\vec{u}=k\vec{v}$
Cela peut permettre de :
- Montrer que deux droites sont parallèles (avec les vecteurs directeurs) .
- Montrer que deux plans sont paralléles (avec les vecteurs normaux).
- Montrer que deux plans sont paralléles (deux vecteurs directeurs de l'un colinéaires à deux vecteurs de l'autre).
- Montrer que trois points définissent un plan ($\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ non colinéaire ).
3) Lorsque deux vecteurs sont orthogonaux :
On calcul $\vec{u}.\vec{v}=xx'+yy'+zz'$.
Si $\vec{u}.\vec{v}=0$ alors $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux.
Cela peut permettre de :
- Montrer que deux droites sont orthogonaux (avec les vecteurs directeurs) .
- Montrer que deux plans sont orthogonaux (avec les vecteurs normaux).
- Montrer qu'un parallélogramme est un rectangle (1 angle droit), un losange (diagonales perpendiculaires), un carré.
- Montrer qu'un triangle est rectangle.
- M est sur la sphère de diamêtre $[AB]$ si et seulement si $\vec{AM}.\vec{BM}=0$
Affirmation 3 : Tous les points dont les coordonnées $(x~;~y~;~z)$ sont données par$\left\{\begin{array}{l c l}
x &=& 1 + \phantom{2}s - 2s'\\
y &=& 1 - 2s + \phantom{2}s'\\
z &=& 1- 4s + 2s'
\end{array}\right., \:
s \in \mathbb{R},\: s' \in \mathbb{R}$: appartiennent au plan $\mathcal{P}$.
Il suffirait d'exprimer l'équation cartésienne du plan, mais en remplaçant x, y et z par ce que l'on nous propose et observer le résultat.
Soient $s$ et $s'$ deux réels et M le point de coordonnées $(1+s-2s' \,;\, 1-2s+s' \,;\, 1-4s+2s' )$.
Le plan $\mathcal P$ a pour équation $2x-3y+2z-7=0$.
2x-3y+2z-7 =2(1+s-2s') -3( 1-2s+s') +2(1-4s+2s') - 7
2x-3y+2z-7 =2 + 2s -4s' -3 +6s -3s' +2 -8s +4s' -7 = -6 -3s' : n'est pas égal à 0 pour tout s'.
Affirmation 3 fausse
Utiliser les vecteurs
1) Lorsque deux vecteurs sont égaux :
Cela permet de montrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme !
Ensuite on peut voir si c'est un rectangle (diagonales de même longueur), losange (cotés consécutifs égaux, ... ) ou un carré.
2) Lorsque deux vecteurs sont colinéaires :
On cherche un coefficient $k$ tel que $\vec{u}=k\vec{v}$
Cela peut permettre de :
- Montrer que deux droites sont parallèles (avec les vecteurs directeurs) .
- Montrer que deux plans sont paralléles (avec les vecteurs normaux).
- Montrer que deux plans sont paralléles (deux vecteurs directeurs de l'un colinéaires à deux vecteurs de l'autre).
- Montrer que trois points définissent un plan ($\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ non colinéaire ).
3) Lorsque deux vecteurs sont orthogonaux :
On calcul $\vec{u}.\vec{v}=xx'+yy'+zz'$.
Si $\vec{u}.\vec{v}=0$ alors $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux.
Cela peut permettre de :
- Montrer que deux droites sont orthogonaux (avec les vecteurs directeurs) .
- Montrer que deux plans sont orthogonaux (avec les vecteurs normaux).
- Montrer qu'un parallélogramme est un rectangle (1 angle droit), un losange (diagonales perpendiculaires), un carré.
- Montrer qu'un triangle est rectangle.
- M est sur la sphère de diamêtre $[AB]$ si et seulement si $\vec{AM}.\vec{BM}=0$
Calculer l'équation d'un plan
- Définir un plan
Avant de calculer l'équation d'un plan, il faut le définir. Pour cela, on doit, à partir de trois points A,B,C du plan, montrer que les vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\) sont non colinéaires.
- Equation paramétrique de plan
Démonstration :
Soit les points A(xo;yo;zo) et M(x;y;z) et les vecteurs \(\vec{AB}\) (a;b;c) et \(\vec{AC}\) (a';b';c')
Si M est sur le plan $(A;\vec{AB};\vec{AC})$ alors le vecteur $\vec{MA}$ peut s'exprimer en fonction de $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$
\(\vec{MA}\) $= (x_M - x_A; y_M - y_A ; z_M - z_A) = (x - x_o ; y - y_o ; z - z_o)$
x (\(\vec{MA}\) ) = ka + k'a' donc x - xo = ka + k'a' et x = ka + k'a' + xo
De même pour y et z
Formules :
Si on connait deux vecteurs non colinéaires d'un plan \(\vec{u}\)(a;b;c) et \(\vec{v}\) (a';b';c') et le point $A (x_o;y_o;y_o)$ apartenant au plan, alors une équation paramétrique de ce plan est :
$\begin{cases} x = ka + k'a' + xo\\ y = kb + k'b' + yo\\ z = kc + k'c' + zo \end{cases}$
avec k et k' des réels.
Exemple :
Soit A (-1;2;3), \(\vec{u}\)(4;-5;7) et \(\vec{v}\) (2;-1;8)
Une équation paramétrique de ce plan est :
$\begin{cases} x=4k+2k'-1\\y=-5k-k'+2\\z=7k+8k'+3 \end{cases}$
avec k et k' des réels
- Equation cartésienne de plan
Soit \(\vec{n}\) (a;b;c) un vecteur normal au plan (ABC) et d réel
Alors une équation cartésienne du plan (ABC) est ax + by + cz + d = 0
Exemple :
On connait le vecteur \(\vec{n}\) (1;7;5) normal au plan (BCD) et B (2;5;2)
Une équation cartésienne de (BCD) est x + 7y + 5z + d = 0
On cherche d : il faut remplacer les coordonnées d'un point appartenant au plan (ici le point B) dans l'équation:
2 + 7*5 + 5*2 + d = 0 donc 47 + d = 0 et d = -47
On obtient alors l'équation cartésienne du plan (BCD) : x + 7y + 5z -47 = 0
Remarques :
En éliminant les paramêtre $k$ et $k'$ on peut transformer un équation paramétrique en équation cartésienne.
Le contraire est possible en posant $x=k$ et $y=k'$ par exemple.
Astuce :
Pour savoir si deux équations correspondent au même plan, choisir trois points au hasard de la première et voir si les coordonnées vérifient la seconde.
Affirmation 4 : Il existe un plan parallèle au plan $\mathcal{P}$ qui contient la droite $\Delta$.
Le plan contenant la droite $\Delta$ n'est parallèle au plan $\mathcal{P}$ que si la droite $\Delta$ est parallèle au plan $\mathcal{P}$.
Il existe un plan parallèle au plan $\mathcal{P}$ qui contient la droite $\Delta$ si et seulement si la droite $\Delta$ est parallèle au plan $\mathcal P$.
La droite $\Delta$ a pour vecteur directeur $\vec{v}\,(4\,;\,-1\,;\,2)$.
Le plan $\mathcal P$ a pour vecteur normal $\vec{n}\,(2\,;\,-3\,;\,2)$.
La droite $\Delta$ est parallèle au plan $\mathcal P$ si et seulement si les vecteurs $\vec{v}$ et $\vec{n}$ sont orthogonaux.
$\vec{v} . \vec{n} = 4\times 2 + (-1)\times (-3) + 2\times 2 = 15\neq 0$ donc les deux vecteurs ne sont pas orthogonaux ce qui prouve que la droite $\Delta$ n'est pas parallèle au plan $\mathcal P$.
Affirmation 4 fausse
Utiliser les vecteurs
1) Lorsque deux vecteurs sont égaux :
Cela permet de montrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme !
Ensuite on peut voir si c'est un rectangle (diagonales de même longueur), losange (cotés consécutifs égaux, ... ) ou un carré.
2) Lorsque deux vecteurs sont colinéaires :
On cherche un coefficient $k$ tel que $\vec{u}=k\vec{v}$
Cela peut permettre de :
- Montrer que deux droites sont parallèles (avec les vecteurs directeurs) .
- Montrer que deux plans sont paralléles (avec les vecteurs normaux).
- Montrer que deux plans sont paralléles (deux vecteurs directeurs de l'un colinéaires à deux vecteurs de l'autre).
- Montrer que trois points définissent un plan ($\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ non colinéaire ).
3) Lorsque deux vecteurs sont orthogonaux :
On calcul $\vec{u}.\vec{v}=xx'+yy'+zz'$.
Si $\vec{u}.\vec{v}=0$ alors $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux.
Cela peut permettre de :
- Montrer que deux droites sont orthogonaux (avec les vecteurs directeurs) .
- Montrer que deux plans sont orthogonaux (avec les vecteurs normaux).
- Montrer qu'un parallélogramme est un rectangle (1 angle droit), un losange (diagonales perpendiculaires), un carré.
- Montrer qu'un triangle est rectangle.
- M est sur la sphère de diamêtre $[AB]$ si et seulement si $\vec{AM}.\vec{BM}=0$
Calculer l'équation d'une droite
Définition
Une équation de droite dans l'espace peut s'écrire de deux façons :
-équation paramétrique de droite
-équation cartésienne de droite
On utilisera plus souvent l'équation paramétrique. Alors :
soit A un point dans l'espace de coordonnées ($x_{0} ; y_{0} ; z_{0}$), et $\vec{u} $ un vecteur non nul de coordonnées (a ; b ; c). Si d est la droite passant par A et $\vec{u}$, alors son équation paramétrique est
$\begin{cases} x = x_{0} + at\\ y = y_{0} + bt\\ z = z_{0} + ct avec t\in\mathbb{R} \end{cases}$
Remarque :
$t\in\mathbb{R}$ signifie qu'à chaque t correspond un point de la droite. Si on $t\in [-1;1]$ alors on à un segment. C'est donc un élément essentiel de l'équation.
Exemple :
Si une droite d passe par le point A de coordonnées (5 ; 2 ; 1) et par $\vec{u}$(2 ; 6 ; 10), alors son équation paramétrique est :
$\begin{cases} x = 5 + 2t\\ y = 2 + 6t\\ z = 1 + 10t avec t\in\mathbb{R} \end{cases}$
Complément :
Une équation cartésienne est de la forme
$\begin{cases} ax + by + cz + d =0\\ a'x + b'x + c'x + d'=0 \end{cases}$
Cela correspond à l'intersection de deux plans.
Comme une droite peut être à l'intersection de beaucoup de plans différents, il existe une infinité d'équation cartésienne trés différentes pour une même droite.
Astuce :
Pour savoir si deux équations corespondent à la même droite, il suffit de choisir au hasard deux points de l'une et tester s'ils sont sur l'autre !
Calculer l'équation d'un plan
- Définir un plan
Avant de calculer l'équation d'un plan, il faut le définir. Pour cela, on doit, à partir de trois points A,B,C du plan, montrer que les vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\) sont non colinéaires.
- Equation paramétrique de plan
Démonstration :
Soit les points A(xo;yo;zo) et M(x;y;z) et les vecteurs \(\vec{AB}\) (a;b;c) et \(\vec{AC}\) (a';b';c')
Si M est sur le plan $(A;\vec{AB};\vec{AC})$ alors le vecteur $\vec{MA}$ peut s'exprimer en fonction de $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$
\(\vec{MA}\) $= (x_M - x_A; y_M - y_A ; z_M - z_A) = (x - x_o ; y - y_o ; z - z_o)$
x (\(\vec{MA}\) ) = ka + k'a' donc x - xo = ka + k'a' et x = ka + k'a' + xo
De même pour y et z
Formules :
Si on connait deux vecteurs non colinéaires d'un plan \(\vec{u}\)(a;b;c) et \(\vec{v}\) (a';b';c') et le point $A (x_o;y_o;y_o)$ apartenant au plan, alors une équation paramétrique de ce plan est :
$\begin{cases} x = ka + k'a' + xo\\ y = kb + k'b' + yo\\ z = kc + k'c' + zo \end{cases}$
avec k et k' des réels.
Exemple :
Soit A (-1;2;3), \(\vec{u}\)(4;-5;7) et \(\vec{v}\) (2;-1;8)
Une équation paramétrique de ce plan est :
$\begin{cases} x=4k+2k'-1\\y=-5k-k'+2\\z=7k+8k'+3 \end{cases}$
avec k et k' des réels
- Equation cartésienne de plan
Soit \(\vec{n}\) (a;b;c) un vecteur normal au plan (ABC) et d réel
Alors une équation cartésienne du plan (ABC) est ax + by + cz + d = 0
Exemple :
On connait le vecteur \(\vec{n}\) (1;7;5) normal au plan (BCD) et B (2;5;2)
Une équation cartésienne de (BCD) est x + 7y + 5z + d = 0
On cherche d : il faut remplacer les coordonnées d'un point appartenant au plan (ici le point B) dans l'équation:
2 + 7*5 + 5*2 + d = 0 donc 47 + d = 0 et d = -47
On obtient alors l'équation cartésienne du plan (BCD) : x + 7y + 5z -47 = 0
Remarques :
En éliminant les paramêtre $k$ et $k'$ on peut transformer un équation paramétrique en équation cartésienne.
Le contraire est possible en posant $x=k$ et $y=k'$ par exemple.
Astuce :
Pour savoir si deux équations correspondent au même plan, choisir trois points au hasard de la première et voir si les coordonnées vérifient la seconde.
Etudier la position relative de plans et de droites
I) Position relative de 2 plans :
1 - On regarde si les plans sont parallèles :
On regarde si un vecteur normal à un des plans est aussi normal à l'autre plan. Dans ce cas, $\vec{n_1}=k\vec{n_2}$. Avec $\vec{n_1}$ vecteur normal à l'un des plans et $\vec{n_2}$ vecteur normal à l'autre plan.
Si, dans l'égalité, on obtient un seul $k$ pour lequel:
xn1 = k xn2
yn1 = k yn2
zn1 = k zn2 ,alors les deux plans sont parallèles.
Si elle ne l'est pas, alors les plans sont sécants.
2 - On regarde si les plans sont orthogonaux :
On regarde si le vecter directeur à un plan est orthogonal au vecteur 
directeur du deuxième. Pour ce faire, on fait un produit scalaire :
Si $\vec{n_1}.\vec{n_2}=0$, alors les deux plans sont orthogonaux.
Dans le cas contraire, ils sont seulement sécants.
II) Position relative de 2 droites :
1 - On regarde si les droites sont parallèles :
On regarde si un vecteur directeur à une des droites est colinéaire à celui de l'autre droite.
Dans ce cas les droites sont parallèles (éventuellement sécantes )
2 - Si les droites ne sont pas parallèles :
On regarde si elles sont sécantes ou non coplannaires :
Avec les équations paramétriques, on cherche un point comun : Existe-t-il un paramêtre $k$ de la première équation et un paramêtre $k'$ de la seconde qui permet d'obtenir les même valeurs de x, y et z.
De plus si $\vec{n_1}.\vec{n_2}=0$, alors les deux droites sont orthogonales.
III) Position relative d'une droite et d'un plan :
1 - On choisit un vecteur directeur de la droite et un vecteur normal du plan :
S'ils sont colinéaires, le plan et la droite sont orthogonaux.
S'ils sont othogonaux, le plan et la droite sont parallèles.
2 - On cherche les points communs au plan et à la droite:
Il suffit de chercher s'il existe un paramêtre $k$ solutions des équations.
Si ce paramêtre est unique, il y à un point d'intersection.
Si toutes les valeurs sont solutions, la droite est incluse dans le plan .
Si il n'y a pas de solution, le plan et la droite sont strictement parallées.