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Nouvelle-Calédonie - 2015 - exercice N°4

Exercice N°4  (Sujet Nouvelle Calédonie 19 Novembre 2015)

 

On considère deux suites de nombres réels $\left(d_n\right)$ et $\left(a_n\right)$ définies par $d_0 = 300$,

 $a_0 =  450$ et, pour tout entier naturel $n \geqslant 0$

\[\renewcommand\arraystretch{1.8}\left\{\begin{array}{l c l}
d_{n+1} &=&\dfrac{1}{2}d_n + 100\\
a_{n+1}    &=&\dfrac{1}{2}d_n + \dfrac{1}{2}a_n + 70
\end{array}\right.\renewcommand\arraystretch{1}\]


 On souhaite écrire un algorithme qui permet d'afficher en sortie les valeurs de $d_n$ et
$a_n$ pour une valeur entière de $n$ saisie par l'utilisateur.

L'algorithme suivant est proposé :

 



 1. Calculer $d_1$ et $a_1$.


2. a) Quels nombres obtient-on en sortie de l'algorithme pour $n = 1$ ? 
        
Ces résultats sont-ils cohérents avec ceux obtenus à la question 1 ?


2. b) Expliquer comment corriger cet algorithme pour qu'il affiche les résultats
souhaités.


3. a) Pour tout entier naturel $n$, on pose $e_n = d_n - 200$. 
        

Montrer que la suite $\left(e_n\right)$ est géométrique.


3. b) En déduire l'expression de $d_n$ en fonction de $n$.

La suite $\left(d_n\right)$ est-elle convergente ? Justifier.


4. On admet que pour tout entier naturel $n$,
    
    \[a_n = 100n\left(\dfrac{1}{2}\right)^n  + 110\left(\dfrac{1}{2}\right)^n + 340.\]

    


4. a) Montrer que pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 3, on a $2n^2 \geqslant (n + 1)^2$.


4. b)  Montrer par récurrence que pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 4, 
        
        $2^n \geqslant  n^2$.


4. c) En déduire que pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 4, 
        
        $0 \leqslant  100n\left(\dfrac{1}{2}\right)^n \leqslant  \dfrac{100}{n}$.


4. d) Étudier la convergence de la suite $\left(a_n\right)$.