Calculer $d_1$ revient à calculer $d_{0+1}$

Calculer $a_1$ revient à calculer $a_{0+1}$

 $\begin{cases} d_1 &=\dfrac12d_0+100=250 \\ a_1 &=\dfrac12d_0+\dfrac12a_0+70=445\end{cases}$

Faire fonctionner l'algorithme ligne par ligne et observer le résultat obtenu.
OU
Saisir cet algorithme sur votre calculette et lui faire afficher le résultat.

On obtient en sortie $D=250$ et $A=420$.
Ces résultats ne sont pas cohérents avec ceux obtenus à la question 1.

Créer une nouvelle variable E dans laquelle on pourra stocker la valeur de D.

Le problème de l'algorithme proposé est qu'il réutilise la variable $D$ pour le calcul de $A$ alors qu'elle a été modifiée. On corrige cela en utilisant une variable auxiliaire $E$, déclarée  nombre réel  $\mathbb{R}$ dans l'initialisation:

On connait une expression de ($e_n$) en fonction de $n$.
On souhaite arriver à une expression de ($e_{n+1}$) en fonction de $n$.

On utilise

$e_n = d_n - 200$  $\iff$     $e_{n+1} = d_{n+1} - 200$

Puis on remplace dans cette formule par les éléments connus.

Par définition, on a:
    $$e_{n+1}=d_{n+1}-200   =\dfrac12d_n-100   =\dfrac12\big(d_n-200\big)   =\dfrac12e_n$$
    
    La suite $(e_n)_{n\in N}$ est donc géométrique de raison $\dfrac12$ et de premier terme $e_0=d_0-200=100$.

L'expression de $d_n$ en fonction de $n$ est issue d'une définition du cours.

Etudier la limite de ${1}\over{2}$$^{n}$

D'après la question précédente, on a $e_n=\left(\dfrac12\right)^n   e_0=100\left(\dfrac12\right)^n$.
    
    $$\text{D'où } \; e_n=d_n-200 \iff d_n=100\left(\dfrac12\right)^n+200$$
    
    Comme $0<\dfrac12<1$, on a $\displaystyle \lim_{n\to +\infty} \left(\dfrac12\right)^n=0$ puis $\displaystyle \lim_{n\to +\infty} d_n=200$.
    
    La suite $(d_n)_{n\in N}$ est donc convergente vers $200$.

$2n^2-(n+1)^2=\Big(\big(\sqrt 2-1\big)n-1\Big)\Big(\big(\sqrt 2+1\big)n+1\Big)$.
    
D'après les résultats de première sur les trinômes du second degré, 
    
$2n^2-(n+1)^2$ est donc positif pour $n \leqslant -\dfrac1{\sqrt 2+1}$ ou $n\geqslant \dfrac1{\sqrt 2-1} \simeq 2,4$.
    
    Donc, pour $n$ entier supérieur  à $3$, on a $2n^2-(n+1)^2\geqslant 0$, c'est-à-dire : 
    
\[2n^2\geqslant (n+1)^2.\]

Pour une démonstration par récurrence, il faut commencer par la phase d'initialisation où on teste pour la première valeur de $n$, ici c'est pour $n$ = 4 qu'il faut le tester.

Par la suite il faut tester la propriété pour ($n$+1), c'est la phase d'hérédité.

Pour $n=4$, on a bien $2^4 = 16\geqslant 4^2=16$ donc la propriété est initialisée.
    
Supposons qu'il existe un entier $k>4$ tel que $2^k \geqslant k^2$.

En multipliant les deux membres de l'inéquation par $2$ et en utilisant le résultat de la question précédente, on obtient :
    
\[2^{k+1}\geqslant 2k^2\geqslant (k+1)^2.\]

La propriété est donc héréditaire.
    
Initialisée et héréditaire, la propriété $2^n\geqslant n^2$ est donc vraie pour tout entier supérieur ou égal à 4.

Composer par la fonction inverse, puis multiplier par 100.

D'après la question précédente, si $n$ est un entier supérieur ou égal à 4, on $0<n^2 \leqslant 2^n $. En composant, cette inégalité par la fonction inverse, décroissante sur $R_+^*$ et en multipliant par $100$, on obtient alors: $$0<\dfrac1{2^n}\leqslant \dfrac1{n^2} \implies 0<100n \left(\dfrac12\right)^n \leqslant \dfrac{100n}{n^{2}}=\dfrac{100}n$$

Utiliser la question précédente et le théorème d'encadrement, pour trouver la limite de la suite $\left(a_n\right)$

D'après la question précédente et les théorèmes d'encadrement $\displaystyle \lim_{n\to +\infty} 100n\left(\dfrac12\right)^n=\displaystyle \lim_{n\to +\infty} \dfrac{100}{n}=0$ et d'après les résultats sur les limites des suites géométriques de raison strictement inférieure à $1$ en valeur absolue $\displaystyle \lim_{n\to +\infty} \left(\dfrac12\right)^n=0$.
        
    D'après les résultats sur les limites de sommes, on obtient alors:
    $$\displaystyle \lim_{n\to +\infty} a_n=340$$