Calculer la dérivée de la fonction $f_n$  sur l'intervalle [0 ; 1], pour connaitre les variations de $f_n$.

• On sait que, pour tout X,$e^X > 0$donc $e^n(x−1) > 0$ , pour tout n ∈ N et tout x ∈ R.

Sur l'interval [0 ; 1], x >0, donc x + e^n(x-1) > 0 ⇐⇒ fn(x) > 0 pour tout n ∈N.

• $f_n$ est dérivable sur R et $f'_n$ , (x) = 1+ne^n(x-1)
Pour tout n ∈ N et tout x ∈ R, ne^n(x-1)> 0 donc $f'_n$(x) > 0 donc la fonction $f_n$ est strictement croissante sur [0 ; 1].

Déterminer graphiquement, grace aux axes.

$f_n$(1) = 1+ e⁰ = 2 donc toutes les courbes $\mathcal{C}_n$  passent par le point A de coordonnées (1; 2).

Calculer approximativement les coefficients directeurs des droites pour pouvoir en déduire une conjecture.

À l’aide des représentations graphiques, on peut conjecturer que le coefficient directeur de la
tangente en A à la courbe $\mathcal{C}_n$  tend vers +∞ quand n tend vers +∞.

Le coefficient directeur de la tangente en A à la courbe $\mathcal{C}_n$  est égal à  $f'_n$(xA) = $f'_n$(1) = 1+n.

lim 1+n = +∞ ⇐⇒ lim $f'_n$(1) = +∞                                                                                                          

 n→+∞                   n→+∞

Remplacer x=1 dans la fonction $f_n$(x).

Dans cette question, on suppose que x = 1 alors $f_n$(1) = 1 +eⁿ⁽¹⁻¹⁾

Pour tout n ∈ N, $f_n$(1) = 2 donc la suite ($U_n$) est constante et chacun de ses termes est égal à 2 car:

pour tout n, eⁿ⁽⁰⁾=e⁰=1 et 1+1=2 alors tous les termes de $f_n$(x) = 2

La suite ($U_n$) admet donc le nombre 2 comme limite.

Faire une composée pour trouver la limite de la suite.

Dans cette question, on suppose que 0⩽x < 1.        

x ∈ [0 ; 1[  ⇒ x −1 < 0            

                                                                                     
lim n(x −1) = −∞ ⇒ lim e^n(x−1)=0      (composée)
n→+∞                      n→+∞

On en déduit que lim x + e^n(x−1)= x et donc que lim $U_n$ = x.
                             n→+∞                                           n→+∞

Pour tout entier naturel n, on note $A_n$ l’aire, exprimée en unité d’aire, du domaine situé entre l’axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}_n$  et les droites d’équations respectives    x = 0 et x = 1.

À partir des représentations graphiques et particulièrement en regardant l’aire sous la courbe $\mathcal{C}$ 100, on
peut conjecturer que la limite de la suite $A_n$ est 1/2.