Pensez au vecteur directeur de la droite (AB) et à une relation de colinérité entre ce vecteur et les veteurs des axes.

a. Soit  \(\overrightarrow{\text{AB}}\ \)de coordonées (2;0;0) 

\(\overrightarrow{\text{OI}} \) (0;0;0) (axe des abscisses) 

Alors il existe une relation tel que  \(\overrightarrow{\text{AB}}\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}=2\overrightarrow{\text{OI}}\)

 Donc La droite (AB) est donc parallèle à l’axe (OI).

Pensez aux coordonnées des points C et D et trouvez les coordonnées équivalentes ainsi qu'au plan dans lequel ces deux points se trouvent.

On a \(xc\) = \(xd \) = 11 donc la droite (CD) est incluse dans le plan P d’équation x = 11 .

On sait que : P a pour équation x=11 et (AB) parallèle à (OI).

Trouver le réel t dans l'équation du plan P et le remplacer dans l'équation de la droite pour trouver un point d'intersection.

Soit (AB) est parallèle à (OI) et (OI) est orthogonale au plan P donc (AB) est orthogonale à P .

Et Le point d’intersection E a des coordonnées (x ; y ; z) qui vérifient l’équation cartésienne de P et la représentation paramétrique de P . 

Alors On doit avoir : \(\left\{\begin{array}{l}x=11\\x=t\\y=-1\\z=5\end{array}\right.\) donc \(E(11~;~-1~;~5)\)

Trouvez une représentation paramétrique de (AB) et (CD) et résolvez les deux équations pour trouver un couple de réels (t,t') qui marchent (si elles sont sécantes)

Une représentation paramétrique de (AB) est \(\left\{\begin{array}{l}x=t\\y=-1\\z=5\end{array}\right. \) \(~t\in\mathbb{R} \)

Et une représentation paramétrique de (CD) est \(\left\{\begin{array}{l c l}x&=&11\\y&=&0,8t'\\z&=&1+0,6t'\end{array}\right. \) \(~t'\in~\mathbb{R}\)

On résout le système \(\left\{\begin{array}{l c l} t&=&11\\-1&=&0,8t'\\5z&=&1+0,6t'\end{array}\right. \) qui n'a pas de solutions, car on trouve \(t' \) négatif, donc 1+0.6\(t' \)<5.

Les droites  (AB) et (CD) ne sont pas sécantes. 

Trouvez une équation de la droite  \(M_t^{}N_t \)et dévellopez ensuite l'équation en mettant tous les termes au carré.

\(\overrightarrow{M_tN_t}\begin{pmatrix}11-t\\0,8t+1\\0,6t-4\end{pmatrix} \)donc \(M_tN_t^2= (11 - t)^2 + (0,8t + 1)^2+(0,6t - 4)^2 \)=\(121 - 22t + t^2 + 0,64t^2+ 1,6t + 1+ 0,36t^2-4,8t + 16 \)=\(M_tN_t^2 = 2t^2-25,2t+138 \)

Transfomez l'équation de \(M_tN_t^2\) en fonction et trouvez ainsi son minimum atteint pour t en résolvant l'équation de la fonction.

\(M_tN_t \)est positif, donc est minimale quand son carré est minimal.

On considère la fonction\(f:t\mapsto 2t^2-25,2t+138\) ; \(f\) est une fonction du second degré ; le coefficient de \(t^2 \) est 2. Le minimum est atteint pour \(t=\dfrac{25,2}{4}=6,3\).

La distance est minimale pour \(t = 6,3s \).