Déterminer les coordonnées des points de ABCDEFGH. Puis déterminer les coordonnées des vecteurs nécessaires.

Calculer le produit scalaire entre deux vecteurs non colinéaires du plan (IJK) et un vecteur directeur de la droite (FD).

Par lecture sur le dessin ci-dessus on détermine facilement les coordonnées des points représentés:

\[A(0,~0,~0) ;\;B(1,~0,~0) ;\;C(1,~1,~0) ;\;D(0,~1,~0) ;\;E(0,~0,~1) ;\;F(1,~0,~1) ;\;G(1,~1,~1) ;\;H(0,~1,~1).\]

On obtient alors les coordonnées des quatre points restants

\[I\left(\dfrac12,~0,~0\right);\;J\left(0,~\dfrac12,~1\right);\;K\left(1,~\dfrac12,~0\right);\;L\left(1,~1,~\dfrac12\right).\]

D'où

\[\vec{FD}\left( -1,~1,~-1\right);\;\vec{IJ}\left( -\dfrac12,~\dfrac12,~1\right);\;\vec{IK}\left( \dfrac12,~\dfrac12,~0\right)\]

et donc

\[\vec{FD}\cdot\vec{IJ}=\dfrac12+\dfrac12-1=0\quad\text{et}\quad\vec{FD}\cdot\vec{IK}=-\dfrac12+\dfrac12+0=0.\]

Le vecteur $\vec{FD}$ est donc normal au plan (IJK), il s'ensuit que la droite (FD) est orthogonale au plan (IJK).

Le vecteur $\vec{FD}$ étant normal au plan (IJK), on peut en déduire l'équation de cartésienne de la forme: ax+by+cz+d=0

Trouver d en utilisant le point I appartenant à ce plan.

\item Le vecteur $\vec{FD}$ étant  normal au plan (IJK), celui-ci a une équation cartésienne de la forme

\[-x+y-z+d=0.\]

Or $I\left(\dfrac12,~0,~0\right)$ appartient à ce plan donc

\[-\dfrac12+d=0\iff d=\dfrac12\]

le plan (IJK) a donc pour équation

\[-x+y-z+\dfrac12=0\quad\text{ou encore}\quad-2x+2y-2z+1=0.\]

$\vec{FD}$ est un vecteur directeur de $(FD)$ et F est un point de la droite, on peut donc déterminer une représentation paramétrique de la droite $(FD)$.

La droite $(FD)$ étant dirigée par le vecteur
$\vec{FD}\left(-1,~1,~-1\right)$ et passant par le point $F(1,~0,~1)$ admet comme représentation paramétrique le système

\[\begin{cases}
x&=1-t\\
y&=t\qquad \text{avec}\quad t\in\mathbb{R}\\
z&=1-t\\
\end{cases}
\]

Les coordonnées du point M vérifie les deux relations:

\[\begin{cases}
x&=1-t\\
y&=t\qquad (S)\quad \text     {et}\quad -2x+2y-2z+1=0\quad (E) \\
z&=1-t\\
\end{cases}
\]

On remplace (S) dans (E) pour déterminer la valeur de t.

Puis on remplace t dans (S) pour obtenir les coordonnées de M.

Les coordonnées $(x,~y,~z)$ du point d'intersection de la droite $(FD)$ et du plan $(IJK)$ vérifient les deux relations

\[\begin{cases}
x&=1-t\\
y&=t\qquad (S)\quad \text{et}\quad -2x+2y-2z+1=0\quad (E) \\
z&=1-t\\
\end{cases}
\]

Dans (E), on obtient

\[-2(1 - t) + 2t - 2(1 - t) + 1 = 0\iff 6t - 3 = 0\iff t =\dfrac12.\]

Ce qui donne, en remplaçant dans (S)

\[x=\dfrac12\quad y=\dfrac12\quad z=\dfrac12.\]

Calculer le produit scalaire des différents cotés du triangle.

Le triangle IJK étant rectangle:

\[\mathcal{A}=\dfrac12\times IJ\times IK\]

Comme $$\vec{IK}\cdot\vec{IJ}=-\dfrac14+\dfrac14+0$$ les vecteurs $\vec{IK}$ et $\vec{IJ}$ sont orthogonaux, le triangle IJK est donc rectangle.

Son aire est

\[\mathcal{A}=\dfrac12\times IJ\times IK =
\dfrac12\times\sqrt{\dfrac14+\dfrac14+1}\times
\sqrt{\dfrac14+\dfrac14+0}=\dfrac12\times\sqrt{\dfrac32}
\times\sqrt{\dfrac12}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}\]

La formule de l'aire d'un tétraèdre est:

\[\mathcal{V}=\dfrac13\times H\times Base\]

La hauteur est FM et la base est l'aire du triangle calculer à la question précédente.

Le volume du tétraèdre FIJK est

\[\mathcal{V}=\dfrac13\times FM\times\dfrac{\sqrt{3}}{4}=
\dfrac13\times \sqrt{\dfrac14+\dfrac14+\dfrac14}\times\dfrac{\sqrt{3}}{4}=\dfrac13\times \dfrac{\sqrt{3}}{2}\times\dfrac{\sqrt{3}}{4}=\dfrac{1}{8}\]

Déterminer les systèmes d'équations paramétriques des droites (IJ) et (KL).

Puis résoudre le système.

On détermine  un système d'équations paramétriques des droites $(IJ)$ et $(KL)$

\[(IJ)\begin{cases}
x&=\dfrac12-\dfrac12t\\
y&=\dfrac12t \\
z&=t\\
\end{cases}
\quad \text{et}\quad
(KL)\begin{cases}
x&=1\\
y&=\dfrac12+\dfrac12t' \\
z&=\dfrac12t'\\
\end{cases}
\]
Ce qui donne le système
\[(IJ)\begin{cases}
\dfrac12-\dfrac12t&=1\\
\dfrac12t&=\dfrac12+\dfrac12t' \\
t&=\dfrac12t'\\
\end{cases}
\]
qui admet pour unique solution $t = -1$ et $t' = - 2$, ce qui prouve que les droites $(IJ)$ et $(KL)$ sont sécantes au point $P\left(1,~-\dfrac12,~-1\right)$