On lance un dés 60 fois et on compte le nombre de fois ou celui-ci tombe sur un nombre pair.
On dit que l'echantillon est de taille $n=60$
la probabilité de réussite est $p=\frac{1}{3}$
Ce programme affiche les résultats des 100 fréquences obtenues en lançant 100 fois le dés 60 fois on obtient.
On voit que plus de $95\%$ des valeurs est contenue dans un intervalle appelé intervalle de fluctuation au seuil de $95\%$.
Une formule, admise, a été donnée en seconde pour trouver cet intervalle.
L'objectif est maintenant de trouver un intervalle plus précis en utilisant les loies Binomiales.
lancer le dés et regarder si le résultat est supérieur à 5 est une expérience de Bernoulli.
La probabilité d'un succés est de $\frac{1}{3}$
Cette expérience est répété 60 fois de manière indépendante.
La loi de probabilité qui est associé a cette expérience est une loi binomial de paramétre $n=60$ et $p=\frac{1}{3}$
Le fichier geogebra permet de visualiser les différentes probabilités.
L'objectif d'un intervalle de fluctuation est d'être sûr d'avoir $95\%$ des valeurs comprises dans $I_f$
Par symetrie, cela revient à laisser moins de $2,5\%$ des valeurs de chaque cotés.
On affiche le tableur sur geogebra pour obtenir :
On cherche le plus petit entier $a$ tel que $P(x <= a ) > 0,025$
Puis le plus petit entier $b$ tel que $P(x <= b ) > 0,975$
On en déduit $I_f= [\frac{14}{60};\frac{27}{60}] $
Soit en arrondissant $I_f=[0,23;0,45]$
Avec la formule de seconde : $I_f=[0,20,0,46] $
Le résultat est sensiblement le même mais :
- Il est plus précis
- on peut le prouver
- on n'est plus limiter à $n>25$ et $0,2 < p < 0.8 $
Parmis les 577 députés de l'assemblée nationale elus en 2007, 18,5% sont des femmes.
En 2007, la proportion de femmes dans la population francaise était de 51,6%.
Peut-on parler de parité en politique ?
On traduit les données:
On a un echantillon de taille $n=577$
La probabilité (ou proportion) de femmes en france est $p=51,6\%$
On test l'adéquation ou non de l'assemblé avec ce modéle, même en tenant compte de la possible fluctuation de l'echantillonage.
La fréquence experimentale est $f=18,5\%$
On detrmine l'intervalle de fluctuation au seuil de $95\%$
On utilise la calculatrice. Par essai successif on calcul les nombres a et b:
$a=274$ et $b=321$
Donc $I_f=[\frac{274}{577};\frac{321}{577}]$ soit $I_f=[0,474,0,556]$
Prise de décision :
On test si la fréquence est dans l'intervalle
0,185 n'est pas inclu dans $I_f$
Donc on peut rejeter l'hypothése 'l'assemblé respecte le modèle de parité" avec un risque d'erreur de $5\%$
Il nait en france 52 garçons pour 48 filles.
Dans une maternité du cantal, il nait 110 bébés, combien de garcons doit-il y avoir au minimum ?
47
67
56
62